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Sind folgende Gleichheiten wahr oder falsch? Fur wahre Aussagen geben Sie ¨ bitte einen Beweis, fur falsche Aussagen ein Gegenbeispiel.

 

A ∩ (B\C) = (A ∩ B)\(A ∩ C)

 

Könnte mir jemand helfen

 10.11.2020
 #1
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\(x \in A \cap (B \backslash C) \\ \Leftrightarrow x \in A \land x \in (B \backslash C) \\ \Leftrightarrow x \in A \land x \in B \land x \notin C \\ \Leftrightarrow x \in A \land x \in B \land x \notin (C \cap A)\land x \notin C \backslash A\\ \Leftrightarrow x \in A \land x \in B \land x \notin (C \cap A) \\ \Leftrightarrow x \in (A \cap B) \land x \notin (C \cap A) \\ \Leftrightarrow x \in (A \cap B) \backslash (C \cap A)\)

 

Dabei ist Zeile 4 äquivalent zu Zeile 5, da Elemente aus A ohnehin nie in C\A sind.


Wir sehen also: Ist ein Element in der linken Menge, dann ist es auch in der rechten, und andersrum. Die Mengen sind folglich gleich.

 10.11.2020
 #2
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Eventuell klappts auch einfacher:
Es ist ohnehin \(A \cap (B \backslash C) = (A \cap B) \backslash C\), und das ist dann auch offenbar gleich der rechten Seite, weil die Elemente aus C, die nicht auch in A (und in B) sind, sowieso bei der Differenzbildung keinen Unterschied machen.

Probolobo  10.11.2020
 #3
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ist das die komplette rechnung??

Gast 10.11.2020
 #4
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Jo, sollte reichen. Die in meiner ersten Antwort ist natürlich etwas ausführlicher, aber die knappe Variante ist schon nicht weniger richtig - ich sag' mal: Wär ich derjenige, der's korrigieren muss, würd ich dir die Punkte dafür geben.

 

Bei Beweisen auf dem Level ist es oft schwierig, wo genau man die Linie zwischen "ist wirklich offensichtlich" und "ist zu zeigen" zieht. Persönlich wär ich aber schon der Meinung, dass sowohl \(A \cap (B \backslash C) = (A \cap B) \backslash C\) als auch \((A \cap B) \backslash C = (A \cap B) \backslash (C \cap A)\) offensichtlich sind. Die erste klappt sowieso, die zweite stimmt, weil ich ja nur Elemente aus dem Schnitt von A&B rausnehmen kann, die da auch tatsächlich drin sind.

Probolobo  10.11.2020

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