+19 Beweise folgende Aussage mit vollständiger Induktion:
Für alle natürlichen Zahlen n ≥ 5 gilt: 2^n > n^2
+3976 Induktionsanfang: n = 5: 2^5 = 32 > 25 = 5^2 - passt!
Wir nehmen also nun an, dass die Aussage für eine natürliche Zahl n gilt, und folgern daraus, dass sie auch für n+1 gilt:
\(2^{n+1} = \\ 2 \cdot 2^n \geq * \\ 2 \cdot n^2 \geq ** \\ (n+1)^2\)
Dabei habe ich in (*) die Induktionsvoraussetzung benutzt.
(**) folgt, weil \(2n^2 = n^2 + n^2 \geq n^2 +2n+1 = (n+1)^2\) offenbar gilt für n größer oder gleich 5.
