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Beweisen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion folgende Aussage für alle natürlichen Zahlen n:

 

Ich komme bis zum Induktionsschritt, jedoch nicht weiter. Es wäre sehr nett wenn mir das bitte jemand Rechnen könnte, wenn möglich bitte mit den Zwischenschritten und evtl. erklärung. Vielen Dank!

 

Freundliche Grüße,

Guest

 03.11.2020

Beste Antwort 

 #8
avatar+759 
+2

Dein Fehler ist in der linken Seite:
Die Summe startet ja bei i=0 und geht bis n+1, bei dir sind da nur die letzten beiden Summanden (also für n & n+1) zu finden.

Daher findest du auch keine Gelegenheit, die Induktionsvoraussetzung anzuwenden - die Summe von i=0 bis n kommt dann nämlich nirgends vor.

 

Der Trick ist, bei der Summe von i=0 bis n+1 den letzten Summanden abzuspalten. Dann geht die Summe wieder nur bis n und man kann die Induktionsvoraussetzung anwenden. 

 04.11.2020
 #1
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+1

\(\sum_{i = 0}^{n} 1/ (i+1)(i+2) = 1 - 1/n+2\)

 

ist der obrige Term ^^

 03.11.2020
 #2
avatar+10787 
+1

Der Term lautet:

\(\sum_{i = 0}^{n} 1/ ((i+1)(i+2) )= 1 - 1/(n+2) \)

Dennoch vielen Dank!

laugh  !

 04.11.2020
 #3
avatar+10787 
+1

Beweisen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion folgende Aussage für alle natürlichen Zahlen n:

 

\(\sum_{i = 0}^{n} \frac{1}{(n+1)(n+2)}=1-\frac{1}{n+2}\)

 

Hallo Gast!

 

Vollständige Induktion

 

\(\sum_{n = 0}^{n} \frac{1}{(n+1)(n+2)}=1-\frac{1}{n+2}\)

 

Induktionsanfang:

n = 0:

linke Seite:      \(\frac{1}{(0+1)(0+2)}=\color{blue}\frac{1}{2}\)  

rechte Seite:      \(1-\frac{1}{0+2}=\color{blue}\frac{1}{2}\)

Für n = 0 sind beide Seiten gleich, und die Aussage ist wahr.

 

Die Induktionsannahme (I.A.) lautet:

 

\(\sum_{n = 0}^{n} \frac{1}{(n+1)(n+2)}=1-\frac{1}{n+2}\)

 

Induktionsschluss:

 

n = 0 + 1:

linke Seite:

 

\(\sum_{n = 0}^{1} \frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{1}{(0+1)(0+2)}+\frac{1}{(1+1)(1+2)}=\color{blue}0.667\)

 

rechte Seite:                   

 

\( 1-\frac{1}{n+2}=1-\frac{1}{1+2}=\color{blue}0.667\)

 

Ergebnis:

 

Für n = 0 + 1 sind beide Seiten gleich, und die I.A. ist wahr.

laugh  !

 04.11.2020
bearbeitet von asinus  04.11.2020
 #4
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+1

Würde das aber dann nur Beweisen, dass der Term für n = 1 gilt und noch nicht alle natürlichen Zahlen?

n = 1 wäre bewiesen, dass die Aussage war ist, aber was ist mit den Rest der natürlichen Zahlen?

Gast 04.11.2020
 #5
avatar+10787 
+1

Die Frage ist berechtigt. Danke! Ich bin leider noch nicht auf einen schlüssigeren Beweis gekommen, und denke  natürlich darüber nach. Bitte helft mir dabei!

Gruß

laugh  !

asinus  04.11.2020
 #6
avatar+759 
+2

Den Induktionsanfang hat der werte Kollege asinus ja schon geliefert.

Für den Induktionsschritt nehmen wir an (Induktionsvoraussetzung!), dass die Aussage für eine natürliche Zahl n gilt. Wir schließen daraus, dass die Aussage auch für n+1 gelten muss:

 

\(\sum_{i=0}^{n+1} \frac{1}{(i+1)(i+2)} = \\ \sum_{i=0}^{n} \frac{1}{(i+1)(i+2)} + \frac{1}{((n+1)+1)((n+1)+2)}= \\ 1-\frac{1}{n+2} + \frac{1}{(n+2)(n+3)} = \\ 1+ \frac{-n-3}{(n+2)(n+3)} + \frac{1}{(n+2)(n+3)} = \\ 1 +\frac{-n-2}{(n+2)(n+3)} = \\ 1 + \frac{-1}{n+3} = \\ 1 - \frac{1}{(n+1)+2}\)

 

Im Schritt von Zeile 2 zu Zeile 3 wurde die Induktionsvoraussetzung genutzt.

 04.11.2020
 #7
avatar+10787 
0

Beweisen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion folgende Aussage für alle natürlichen Zahlen n:

\(\sum_{n = 0}^{n} \frac{1}{(n+1)(n+2)}=1-\frac{1}{n+2}\)

 

Vollständige Induktion:

\(\sum_{n = 0}^{n} \frac{1}{(n+1)(n+2)}=1-\frac{1}{n+2}\)

 

Induktionsanfang:

n = 0:

linke Seite:      \(\frac{1}{(0+1)(0+2)}=\color{blue}\frac{1}{2}\)  

rechte Seite:      \(1-\frac{1}{0+2}=\color{blue}\frac{1}{2}\)

Für n = 0 sind beide Seiten gleich, und die Aussage ist wahr.

 

Die Induktionsannahme (I.A.) lautet:

 

\(\sum_{n = 0}^{n} \frac{1}{(n+1)(n+2)}=1-\frac{1}{n+2}\)

 

Induktionsschluss:

 

n + 1 :
 

linke Seite: 

                       \(\frac{1}{(n+1)(n+2)}+ \frac{1}{(n{\color{blue}+1}+1)(n{\color{blue}+1}+2)}\\ =\frac{1}{(n+1)(n+2)}+ \frac{1}{(n+2)(n+2)}\\ =\frac{1}{n+2} (\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2})\\ =\frac{(n+2)+(n+1)}{ (n+1)(n+2)(n+2) }\\ =\frac{2n+3}{(n+1)(n+2)(n+2)}\)

rechte Seite:

                      \(1-\frac{1}{n{\color{blue}+1}+2}\\ =1-\frac{1}{n+3}\)

Keine Lösung. Ich mache irgendeinen Denkfehler.

indecision  !

 04.11.2020
 #8
avatar+759 
+2
Beste Antwort

Dein Fehler ist in der linken Seite:
Die Summe startet ja bei i=0 und geht bis n+1, bei dir sind da nur die letzten beiden Summanden (also für n & n+1) zu finden.

Daher findest du auch keine Gelegenheit, die Induktionsvoraussetzung anzuwenden - die Summe von i=0 bis n kommt dann nämlich nirgends vor.

 

Der Trick ist, bei der Summe von i=0 bis n+1 den letzten Summanden abzuspalten. Dann geht die Summe wieder nur bis n und man kann die Induktionsvoraussetzung anwenden. 

Probolobo  04.11.2020
 #9
avatar+10787 
+1

Danke Probolobo für die ausführliche Erklärung! smileysmileysmiley

asinus  04.11.2020
 #10
avatar+759 
+1

Immer gern! :)
Der ganze Induktionsschritt ist übrigens in meiner anderen Antwort.

Probolobo  04.11.2020
 #11
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0

Vielen Dank für eure Antworten, habe alles verstanden! laugh

Gast 04.11.2020

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