Beweisen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion folgende Aussage für alle natürlichen Zahlen n:
Ich komme bis zum Induktionsschritt, jedoch nicht weiter. Es wäre sehr nett wenn mir das bitte jemand Rechnen könnte, wenn möglich bitte mit den Zwischenschritten und evtl. erklärung. Vielen Dank!
Freundliche Grüße,
Guest
+3976 Dein Fehler ist in der linken Seite:
Die Summe startet ja bei i=0 und geht bis n+1, bei dir sind da nur die letzten beiden Summanden (also für n & n+1) zu finden.
Daher findest du auch keine Gelegenheit, die Induktionsvoraussetzung anzuwenden - die Summe von i=0 bis n kommt dann nämlich nirgends vor.
Der Trick ist, bei der Summe von i=0 bis n+1 den letzten Summanden abzuspalten. Dann geht die Summe wieder nur bis n und man kann die Induktionsvoraussetzung anwenden.
+15000 Der Term lautet:
\(\sum_{i = 0}^{n} 1/ ((i+1)(i+2) )= 1 - 1/(n+2) \)
Dennoch vielen Dank!
!
+15000 Beweisen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion folgende Aussage für alle natürlichen Zahlen n:
\(\sum_{i = 0}^{n} \frac{1}{(n+1)(n+2)}=1-\frac{1}{n+2}\)
Hallo Gast!
Vollständige Induktion
\(\sum_{n = 0}^{n} \frac{1}{(n+1)(n+2)}=1-\frac{1}{n+2}\)
Induktionsanfang:
n = 0:
linke Seite: \(\frac{1}{(0+1)(0+2)}=\color{blue}\frac{1}{2}\)
rechte Seite: \(1-\frac{1}{0+2}=\color{blue}\frac{1}{2}\)
Für n = 0 sind beide Seiten gleich, und die Aussage ist wahr.
Die Induktionsannahme (I.A.) lautet:
\(\sum_{n = 0}^{n} \frac{1}{(n+1)(n+2)}=1-\frac{1}{n+2}\)
Induktionsschluss:
n = 0 + 1:
linke Seite:
\(\sum_{n = 0}^{1} \frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{1}{(0+1)(0+2)}+\frac{1}{(1+1)(1+2)}=\color{blue}0.667\)
rechte Seite:
\( 1-\frac{1}{n+2}=1-\frac{1}{1+2}=\color{blue}0.667\)
Ergebnis:
Für n = 0 + 1 sind beide Seiten gleich, und die I.A. ist wahr.
!
+3976 Den Induktionsanfang hat der werte Kollege asinus ja schon geliefert.
Für den Induktionsschritt nehmen wir an (Induktionsvoraussetzung!), dass die Aussage für eine natürliche Zahl n gilt. Wir schließen daraus, dass die Aussage auch für n+1 gelten muss:
\(\sum_{i=0}^{n+1} \frac{1}{(i+1)(i+2)} = \\ \sum_{i=0}^{n} \frac{1}{(i+1)(i+2)} + \frac{1}{((n+1)+1)((n+1)+2)}= \\ 1-\frac{1}{n+2} + \frac{1}{(n+2)(n+3)} = \\ 1+ \frac{-n-3}{(n+2)(n+3)} + \frac{1}{(n+2)(n+3)} = \\ 1 +\frac{-n-2}{(n+2)(n+3)} = \\ 1 + \frac{-1}{n+3} = \\ 1 - \frac{1}{(n+1)+2}\)
Im Schritt von Zeile 2 zu Zeile 3 wurde die Induktionsvoraussetzung genutzt.
+15000 Beweisen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion folgende Aussage für alle natürlichen Zahlen n:
\(\sum_{n = 0}^{n} \frac{1}{(n+1)(n+2)}=1-\frac{1}{n+2}\)
Vollständige Induktion:
\(\sum_{n = 0}^{n} \frac{1}{(n+1)(n+2)}=1-\frac{1}{n+2}\)
Induktionsanfang:
n = 0:
linke Seite: \(\frac{1}{(0+1)(0+2)}=\color{blue}\frac{1}{2}\)
rechte Seite: \(1-\frac{1}{0+2}=\color{blue}\frac{1}{2}\)
Für n = 0 sind beide Seiten gleich, und die Aussage ist wahr.
Die Induktionsannahme (I.A.) lautet:
\(\sum_{n = 0}^{n} \frac{1}{(n+1)(n+2)}=1-\frac{1}{n+2}\)
Induktionsschluss:
n + 1 :
linke Seite:
\(\frac{1}{(n+1)(n+2)}+ \frac{1}{(n{\color{blue}+1}+1)(n{\color{blue}+1}+2)}\\ =\frac{1}{(n+1)(n+2)}+ \frac{1}{(n+2)(n+2)}\\ =\frac{1}{n+2} (\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2})\\ =\frac{(n+2)+(n+1)}{ (n+1)(n+2)(n+2) }\\ =\frac{2n+3}{(n+1)(n+2)(n+2)}\)
rechte Seite:
\(1-\frac{1}{n{\color{blue}+1}+2}\\ =1-\frac{1}{n+3}\)
Keine Lösung. Ich mache irgendeinen Denkfehler.
!
+3976 Dein Fehler ist in der linken Seite:
Die Summe startet ja bei i=0 und geht bis n+1, bei dir sind da nur die letzten beiden Summanden (also für n & n+1) zu finden.
Daher findest du auch keine Gelegenheit, die Induktionsvoraussetzung anzuwenden - die Summe von i=0 bis n kommt dann nämlich nirgends vor.
Der Trick ist, bei der Summe von i=0 bis n+1 den letzten Summanden abzuspalten. Dann geht die Summe wieder nur bis n und man kann die Induktionsvoraussetzung anwenden.
