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Wie viele Spiele gibt es, wenn 2 Gruppen zu 4 Mannschaften gebildet werden und die Gruppensieger anschließend gegeneinander spielen.

Hallo Evan!

$\binom{4}{2}$ = 6, denn {1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4} sind die zweielementigen Teilmengen von {1,2,3,4}.

Die  sechs zweielementigen Teilmengen stehen für die Spiele einer Gruppe (jeder gegen jeden).

Aus diesen Spielen wird nach einem vereinbarten System (Z.B. Punktsystem der Bundesliga) der Gruppensieger ermittellt.

Da es zwei Gruppen sind wird verdoppelt, das Spiel der Grupppensieger kommt hinzu, also ist die Lösung

$\mathbb {L}= \{\binom{4}{2}\times 2+1 \}=\{6 \times 2+1\}=\{13 \}$

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Vielen Dank, asinus.

Danke heureka!

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Vollständige Induktion!

Zeigen Sie mit vollständiger Induktion
$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n} (-1)^{k-1}\cdot k=\dfrac{1}{4}\left[~1+(-1)^{n-1}\cdot (2n+1)~\right]$
für alle $n \in \mathbb{N}$:

$\bf{\text{Beweise mit vollständiger Induktion:}}$

$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n} (-1)^{k-1}\cdot k=\dfrac{1}{4}\left[~1+(-1)^{n-1}\cdot (2n+1)~\right]$

$\text{Induktionsanfang:}$

$\begin{array}{|lll|} \hline n=1 & \text{linke Seite:} & (-1)^{1-1}\cdot 1 \\ & &= 1 \\\\ & \text{rechte Seite:} & \dfrac{1}{4}[~1+(-1)^{1-1}\cdot (2\cdot 1+1)~] \\ & &= \dfrac{1}{4}[~1+1\cdot 3~] \\ & &= \dfrac{1}{4}\cdot(4) \\ & &= 1 \\ \hline \end{array}$

$\text{Für $\mathbf{n=1}$ sind beide Seiten gleich, und die Aussage ist wahr!}$

$\text{Die Induktionsannahme (I.A.) lautet:}$

$\begin{array}{|rcll|} \hline \displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n} (-1)^{k-1}\cdot k &=& \dfrac{1}{4}\left[~1+(-1)^{n-1}\cdot (2n+1)~\right] \\ \hline \end{array}$

$\text{Der Induktionsschluss von $\mathbf{n}$ nach $\mathbf{n+1}$:}$

$\begin{array}{|rcll|} \hline \displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n+1} (-1)^{k-1}\cdot k &=& \dfrac{1}{4}\left[~1+(-1)^{(n+1)-1}\cdot (2(n+1)+1)~\right] \\ \hline \end{array}$

$\bf{\text{linke Seite:}}$

$\begin{array}{|llrcll|} \hline &\mathbf{ \sum\limits_{k=1}^{n+1} (-1)^{k-1}\cdot k }\\\\ = & \sum\limits_{k}^{n} (-1)^{k-1}\cdot k + (-1)^{(n+1)-1}(n+1) \\\\ = & \sum\limits_{k}^{n} (-1)^{k-1}\cdot k + (-1)^{n}(n+1) \\\\ \overset{I.A.}{=} & \dfrac{1}{4}\left[~1+(-1)^{n-1}\cdot (2n+1)~\right] + (-1)^{n}(n+1) \\\\ = & \dfrac{1}{4}\left[~1+(-1)^{n-1}\cdot (2n+1)~\right] + (-1)^{n}(n+1) \cdot \dfrac{4}{4} \\\\ = & \dfrac{1}{4}\left[~1+\dfrac{(-1)^{n}}{-1}\cdot (2n+1)+ 4\cdot(-1)^{n}(n+1) ~\right] \\\\ = & \dfrac{1}{4}\left[~1- (-1)^{n}\cdot (2n+1)+ 4\cdot(-1)^{n}(n+1) ~\right] \\\\ = & \dfrac{1}{4}\left\{~1 +(-1)^n\cdot[~ 4(n+1)-(2n+1)~] ~\right\} \\\\ = & \dfrac{1}{4}\left[~1 +(-1)^n\cdot (4n+4-2n-1)~\right] \\\\ \mathbf{=} & \mathbf{\dfrac{1}{4}\left[~1 +(-1)^n\cdot(~ 2n+3) ~\right] }\\ \hline \end{array}$

$\bf{\text{rechte Seite:}}$

$\begin{array}{|ll|} \hline & \mathbf{\dfrac{1}{4}\left[~1+(-1)^{(n+1)-1}\cdot (2(n+1)+1)~\right] } \\\\ =& \dfrac{1}{4}\left[~1+(-1)^{n}\cdot (2n+2+1)~\right] \\\\ \mathbf{=}& \mathbf{\dfrac{1}{4}\left[~1+(-1)^{n}\cdot (2n+3)~\right]} \\ \hline \end{array}$

Zeigen Sie für alle n$\in \mathbb{N}$:

$\sum\limits_{k=1}^{n} (-1)^{k-1}\cdot k=\frac{1}{4}[1+(-1)^{n-1}\cdot (2n+1)]$

Hallo anmath!

Vollständige Induktion

$\sum\limits_{k=1}^{n} (-1)^{k-1}\cdot k=\frac{1}{4}[1+(-1)^{n-1}\cdot (2n+1)]$

Induktionsanfang:

n=2

linke Seite:

 $\sum\limits_{k=1}^{2} (-1)^{k-1}\cdot k\\ = (-1)^{1-1}\cdot 1+ (-1)^{2-1}\cdot 2\\ =1+(-2)\\ \color{blue}=-1$

rechte Seite:

$\frac{1}{4}[1+(-1)^{n-1}\cdot (2n+1)]\\ =\frac{1}{4}[1+(-1)^{2-1}\cdot (2\cdot 2+1)]\\ =\frac{1}{4}[1+(-1)\cdot (5)]\\ \color{blue}=-1$

Für n=2  sind beide Seiten gleich, und die Aussage ist wahr!

Die Induktionsannahme (I.A.)lautet:

$\sum\limits_{k=1}^{n} (-1)^{k-1}\cdot k=\frac{1}{4}[1+(-1)^{n-1}\cdot (2n+1)]$

Induktionsschluss:

n + 1

linke Seite:

$\sum\limits_{k=1}^{n+1} (-1)^{n-1-1}\cdot (n-1)\\ =\sum\limits_{k=1}^{n+1} (-1)^{n-2}\cdot (n-1)$

rechte Seite:

$\frac{1}{4}[1+(-1)^{n-1+1}\cdot (2(n+1)+1)]\\ =\frac{1}{4}[1+(-1)^{n}\cdot (2n+3)]$

Ergebnis:

Es tut mir leid, ich komme hier nicht weiter.

Ich bitte alle Mathewissenden um Hilfe!

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Hallo Lamip,

Wie heißt bitte die abschnittsweise definierte Funktion, deren Umkehrfunktion du benennen willst?

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 Kann mir jemand der Rechenweg für diese Aufgabe erklären? -1/10 x = -100

Hallo Gast!

Bei der Definition von Termen mit Punkt- und Strichrechnung gilt:

Punktrechnung vor Strichrechnung und Punktrechnung nacheinander von links nach rechts.

Damit bedeutet deine Gleichung

$-\frac{1}{10}\times x=-100$           Beidseitig $\times (-10)$

$x=1000$

Vielleicht hast du aber gemeint:  -1/(10x) = -100

Dann wäre der Rechenweg

$-\frac{1}{10x}=-100$                 Beidseitig $\times (-10x)$

$1=1000x$                       Beidseitig  $/(1000)$

$\frac{1}{1000}=x$

$x=\frac{1}{1000}$ 

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Schau Dir dieses Video an.

-1/10 x=-100

Bitte ergänzen Sie die fehlenden Summanden:

      $(\ -\ )^2=25a^2-\ +4e^2$

Hallo Gast!

Der 2. Binomische Lehrsatz sagt:

Das Quadrat einer Differenz zweier Größen ist gleich dem Quadrat des 1. Gliedes minus dem verdoppelten Produkt aus dem 1. und dem 2. Glied plus dem Quadrat des 2. Gliedes.

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

In unserer gegebenen unfertigen Geichung ist

das Quadrat des 1. Glied 25a², folglich ist das 1. Glied die Wurzel daraus, nämlich 5a.

Das Quadrat des 2. Glied ist 4e², folglich ist das 2. Glied die Wurzel daraus, nämlich 2e.

Das verdoppelte Produkt aus 1. und 2. Glied ist 2 * 5a * 2e = 20ae. Es wird abgezogen.

$(5a-2e)^2=25a^2-20ae+4e^2$ 

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Die Frage lautet:

Schreiben sie als Summe und ferner so, das keine Potenzen mehr auftreten.

Hallo Gast!

$log⁡〖(a^{-4} b^3)/c^{-2} 〗$

$=log \ \frac{a^{-4} b^3}{c^{-2}}$

$=-4\times log\ a+3\times log\ b-(-2\times log\ c)\\ \color{blue}=-4\times log\ a+3\times log\ b+2\times log\ c$

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Vielen Dank ,

Wie muss ich das rechnen?

Die Frage lautet :   34!/35!

Hallo Gast!

$\large \frac{34!}{35!}=\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot 33\cdot 34}{1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot 33\cdot 34\cdot 35=}=\frac{1}{35}$      

$\large \frac{34!}{35!}=\frac{34!}{34!\cdot 35}=\frac{1}{35}$      

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Wie beweist man die Formel für das Volumen eines Kegelstumpfes?

Hallo Gast!

Bei der Herleitung der Formel für das Volumen eines Kegelstumpfes von Oliver Michele in der Antwort von Omi67 wird ohne Beweis vorausgesetzt, die Formel für das Kegelvolumen sei

$V=\frac{1}{3}\pi r^2h$ .

Beweis zur Formel für das Volumen des großen Kegels in der Kegeldarstellung von O. Michele:

Den Kegelstumpf kann man sich vorstellen als einen Stapel unendlich dünner kreisförmiger Scheiben.

Die Fläche einer Scheibe ist

$A=\pi r^2$ ,

ihr Volumen ist

$V=\pi r^2\cdot dh$ .

dh ist die Dicke dieser Scheibe.

Der Tangens des Steigungswinkels einer Seitenlinie des Kegels ist

$tan\ \alpha = \frac{h_g}{r_1}\\ r_1=\frac{h_g}{tan\ \alpha}$ .

Dann ist der Radius jeder beliebigen Scheibe

$r=\frac{h}{tan\ \alpha}=h\cdot \frac{r_1}{h_g}$.

h ist der Abstand der Scheibe von der Spitze des Kegels.

Mit Hilfe der Integralrechnung wird die Summe der Volumina der Scheiben ermittelt.

$V=\int_{0}^{h_g}\pi\cdot r^2\cdot dh$

r eingesetzt ergibt

$V=\int_{0}^{h_g}\pi\cdot h^2\cdot \frac{r_1^2}{h_g^2}\cdot dh$

Die Konstanten kommen vor das bestimmte Integral.

$V=\pi \cdot \frac{r_1^2}{h_g^2}\int_{0}^{h_g} h^2\cdot dh$

Integriert ergibt das

$\color{blue}V=\pi \cdot \frac{r_1^2}{h_g^2}\cdot \left[\frac{h^3}{3}\right]_{0}^{h_g} \\ V=\pi \cdot \frac{r_1^2}{h_g^2}\cdot \frac{h_g^3}{3}$

 Gekürzt und verallgemeinert bleibt

$\large V=\frac{1}{3}\cdot \pi\cdot r^2\cdot h$

q.e.d

Die weitere Herleitung der Formel für das Volumen eines Kegelstumpfes findest du in der Antwort von Omi67.

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3^1,5

eine einfache Aufgabe für den Taschenrechner, aber ich möchte die nachverfolgen können.

Hallo Gast!

$3^{1,5}=3^{\frac{3}{2}}=\sqrt[2]{3^3}=\sqrt[2]{27}=\sqrt[2]{3\cdot 3^2}=3\cdot \sqrt[2]{3}=5,196..$

$3^\frac{1}{2}=\sqrt{3}\\ 3^{\frac{3}{2}}=(\sqrt{3}\ )^3=5,196..$

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Erklären,wie man die Aufgabe richig kürzen kann.

$\frac{5}{x+2}+\frac{3}{2\cdot (x+2)}=\frac{1}{2}-\frac{7}{2\cdot(x+2)}$ 

Hallo Gast!

Substituiere (x+2) = z

$\frac{5}{z}+\frac{3}{2\cdot z}=\frac{1}{2}-\frac{7}{2\cdot z}$       beiderseits $+\frac{7}{2z}$

$\frac{5}{z}+\frac{3}{2 z}+\frac{7}{2z}=\frac{1}{2}$        $KGN=2z$

$\frac{10+3+7}{2z}=\frac{1}{2}$                   $Z\ddot ahler\ addieren$

$\frac{20}{2z}=\frac{1}{2}$                           beiderseits $\cdot 2\cdot 2z$

$40=2z$                          $2\ dividieren$

$z=20$

Substituiere z = x+2

$x+2=20$                   beiderseits -2

$x=18$

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Jetzt stimmt es aber. Das Ergebnis ist  x=18

2*(x+2) ich hab eigentlich schon lenkst eine korrektur hogeladen aberanscheinend wurde das hier nicht Korrigiert sondern das andere

2*(x+2) ich hab eigentlich schon lenkst eine korrektur hogeladen aberanscheinend wurde das hier nicht Korrigiert sondern das andere

Ich rechne das noch mal. Ich habe auch eine Frage. Muss es im zweiten Bruch von links 2+(x+2) oder 2*(x+2) heißen?

Bei dir in der Aufgabe beim letzten Bruch da stehen 2/(x+2) aber da soll 7/(2(x+2)) stehen oder hast du einen schritt dazwischen noch gemacht der die 7 in eine 2 und die untere 2 weg gemacht hat?

Bei dir in der Aufgabe beim letzten Bruch da stehen 2/(x+2) aber da soll 7/(2(x+2)) stehen oder hast du einen schritt dazwischen noch gemacht der die 7 in eine 2 und die untere 2 weg gemacht hat?

Sorry, ich habe die Aufgabe falsch abgeschrieben.