Zeigen Sie für alle nϵN:
n
∑(−1)k-1 k=1/4[1+(-1)n-1(2n+1)]
k=1
ich bitte dringend um hilfe beim induktionsschritt!!!
Zeigen Sie für alle n∈N:
n∑k=1(−1)k−1⋅k=14[1+(−1)n−1⋅(2n+1)]
Hallo anmath!
Vollständige Induktion
n∑k=1(−1)k−1⋅k=14[1+(−1)n−1⋅(2n+1)]
Induktionsanfang:
n=2
linke Seite:
2∑k=1(−1)k−1⋅k=(−1)1−1⋅1+(−1)2−1⋅2=1+(−2)=−1
rechte Seite:
14[1+(−1)n−1⋅(2n+1)]=14[1+(−1)2−1⋅(2⋅2+1)]=14[1+(−1)⋅(5)]=−1
Für n=2 sind beide Seiten gleich, und die Aussage ist wahr!
Die Induktionsannahme (I.A.)lautet:
n∑k=1(−1)k−1⋅k=14[1+(−1)n−1⋅(2n+1)]
Induktionsschluss:
n + 1
linke Seite:
n+1∑k=1(−1)n−1−1⋅(n−1)=n+1∑k=1(−1)n−2⋅(n−1)
rechte Seite:
14[1+(−1)n−1+1⋅(2(n+1)+1)]=14[1+(−1)n⋅(2n+3)]
Ergebnis:
Es tut mir leid, ich komme hier nicht weiter.
Ich bitte alle Mathewissenden um Hilfe!
!
Vollständige Induktion!
Zeigen Sie mit vollständiger Induktion
n∑k=1(−1)k−1⋅k=14[ 1+(−1)n−1⋅(2n+1) ]
für alle n∈N:
Beweise mit vollständiger Induktion:
n∑k=1(−1)k−1⋅k=14[ 1+(−1)n−1⋅(2n+1) ]
Induktionsanfang:
n=1linke Seite:(−1)1−1⋅1=1rechte Seite:14[ 1+(−1)1−1⋅(2⋅1+1) ]=14[ 1+1⋅3 ]=14⋅(4)=1
Für n=1 sind beide Seiten gleich, und die Aussage ist wahr!
Die Induktionsannahme (I.A.) lautet:
n∑k=1(−1)k−1⋅k=14[ 1+(−1)n−1⋅(2n+1) ]
Der Induktionsschluss von n nach n+1:
n+1∑k=1(−1)k−1⋅k=14[ 1+(−1)(n+1)−1⋅(2(n+1)+1) ]
linke Seite:
n+1∑k=1(−1)k−1⋅k=n∑k(−1)k−1⋅k+(−1)(n+1)−1(n+1)=n∑k(−1)k−1⋅k+(−1)n(n+1)I.A.=14[ 1+(−1)n−1⋅(2n+1) ]+(−1)n(n+1)=14[ 1+(−1)n−1⋅(2n+1) ]+(−1)n(n+1)⋅44=14[ 1+(−1)n−1⋅(2n+1)+4⋅(−1)n(n+1) ]=14[ 1−(−1)n⋅(2n+1)+4⋅(−1)n(n+1) ]=14{ 1+(−1)n⋅[ 4(n+1)−(2n+1) ] }=14[ 1+(−1)n⋅(4n+4−2n−1) ]=14[ 1+(−1)n⋅( 2n+3) ]
rechte Seite:
14[ 1+(−1)(n+1)−1⋅(2(n+1)+1) ]=14[ 1+(−1)n⋅(2n+2+1) ]=14[ 1+(−1)n⋅(2n+3) ]