Vollständige Induktion!!!

Zeigen Sie für alle n$\in \mathbb{N}$:

$\sum\limits_{k=1}^{n} (-1)^{k-1}\cdot k=\frac{1}{4}[1+(-1)^{n-1}\cdot (2n+1)]$

Hallo anmath!

Vollständige Induktion

$\sum\limits_{k=1}^{n} (-1)^{k-1}\cdot k=\frac{1}{4}[1+(-1)^{n-1}\cdot (2n+1)]$

Induktionsanfang:

n=2

linke Seite:

 $\sum\limits_{k=1}^{2} (-1)^{k-1}\cdot k\\ = (-1)^{1-1}\cdot 1+ (-1)^{2-1}\cdot 2\\ =1+(-2)\\ \color{blue}=-1$

rechte Seite:

$\frac{1}{4}[1+(-1)^{n-1}\cdot (2n+1)]\\ =\frac{1}{4}[1+(-1)^{2-1}\cdot (2\cdot 2+1)]\\ =\frac{1}{4}[1+(-1)\cdot (5)]\\ \color{blue}=-1$

Für n=2  sind beide Seiten gleich, und die Aussage ist wahr!

Die Induktionsannahme (I.A.)lautet:

$\sum\limits_{k=1}^{n} (-1)^{k-1}\cdot k=\frac{1}{4}[1+(-1)^{n-1}\cdot (2n+1)]$

Induktionsschluss:

n + 1

linke Seite:

$\sum\limits_{k=1}^{n+1} (-1)^{n-1-1}\cdot (n-1)\\ =\sum\limits_{k=1}^{n+1} (-1)^{n-2}\cdot (n-1)$

rechte Seite:

$\frac{1}{4}[1+(-1)^{n-1+1}\cdot (2(n+1)+1)]\\ =\frac{1}{4}[1+(-1)^{n}\cdot (2n+3)]$

Ergebnis:

Es tut mir leid, ich komme hier nicht weiter.

Ich bitte alle Mathewissenden um Hilfe!

  !

Vollständige Induktion!

Zeigen Sie mit vollständiger Induktion
$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n} (-1)^{k-1}\cdot k=\dfrac{1}{4}\left[~1+(-1)^{n-1}\cdot (2n+1)~\right]$
für alle $n \in \mathbb{N}$:

$\bf{\text{Beweise mit vollständiger Induktion:}}$

$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n} (-1)^{k-1}\cdot k=\dfrac{1}{4}\left[~1+(-1)^{n-1}\cdot (2n+1)~\right]$

$\text{Induktionsanfang:}$

$\begin{array}{|lll|} \hline n=1 & \text{linke Seite:} & (-1)^{1-1}\cdot 1 \\ & &= 1 \\\\ & \text{rechte Seite:} & \dfrac{1}{4}[~1+(-1)^{1-1}\cdot (2\cdot 1+1)~] \\ & &= \dfrac{1}{4}[~1+1\cdot 3~] \\ & &= \dfrac{1}{4}\cdot(4) \\ & &= 1 \\ \hline \end{array}$

$\text{Für $\mathbf{n=1}$ sind beide Seiten gleich, und die Aussage ist wahr!}$

$\text{Die Induktionsannahme (I.A.) lautet:}$

$\begin{array}{|rcll|} \hline \displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n} (-1)^{k-1}\cdot k &=& \dfrac{1}{4}\left[~1+(-1)^{n-1}\cdot (2n+1)~\right] \\ \hline \end{array}$

$\text{Der Induktionsschluss von $\mathbf{n}$ nach $\mathbf{n+1}$:}$

$\begin{array}{|rcll|} \hline \displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n+1} (-1)^{k-1}\cdot k &=& \dfrac{1}{4}\left[~1+(-1)^{(n+1)-1}\cdot (2(n+1)+1)~\right] \\ \hline \end{array}$

$\bf{\text{linke Seite:}}$

$\begin{array}{|llrcll|} \hline &\mathbf{ \sum\limits_{k=1}^{n+1} (-1)^{k-1}\cdot k }\\\\ = & \sum\limits_{k}^{n} (-1)^{k-1}\cdot k + (-1)^{(n+1)-1}(n+1) \\\\ = & \sum\limits_{k}^{n} (-1)^{k-1}\cdot k + (-1)^{n}(n+1) \\\\ \overset{I.A.}{=} & \dfrac{1}{4}\left[~1+(-1)^{n-1}\cdot (2n+1)~\right] + (-1)^{n}(n+1) \\\\ = & \dfrac{1}{4}\left[~1+(-1)^{n-1}\cdot (2n+1)~\right] + (-1)^{n}(n+1) \cdot \dfrac{4}{4} \\\\ = & \dfrac{1}{4}\left[~1+\dfrac{(-1)^{n}}{-1}\cdot (2n+1)+ 4\cdot(-1)^{n}(n+1) ~\right] \\\\ = & \dfrac{1}{4}\left[~1- (-1)^{n}\cdot (2n+1)+ 4\cdot(-1)^{n}(n+1) ~\right] \\\\ = & \dfrac{1}{4}\left\{~1 +(-1)^n\cdot[~ 4(n+1)-(2n+1)~] ~\right\} \\\\ = & \dfrac{1}{4}\left[~1 +(-1)^n\cdot (4n+4-2n-1)~\right] \\\\ \mathbf{=} & \mathbf{\dfrac{1}{4}\left[~1 +(-1)^n\cdot(~ 2n+3) ~\right] }\\ \hline \end{array}$

$\bf{\text{rechte Seite:}}$

$\begin{array}{|ll|} \hline & \mathbf{\dfrac{1}{4}\left[~1+(-1)^{(n+1)-1}\cdot (2(n+1)+1)~\right] } \\\\ =& \dfrac{1}{4}\left[~1+(-1)^{n}\cdot (2n+2+1)~\right] \\\\ \mathbf{=}& \mathbf{\dfrac{1}{4}\left[~1+(-1)^{n}\cdot (2n+3)~\right]} \\ \hline \end{array}$

Danke heureka!

  !