http://www.familie-michele.de/gis/material10/kegelstumpf.pdf
Auf dieser Seite findest Du die Herleitung der Formel. Du musst sie nur abschreiben oder ausdrucken.
Die Herleitung ist auch der Beweis.
Wie beweist man die Formel für das Volumen eines Kegelstumpfes?
Hallo Gast!
Bei der Herleitung der Formel für das Volumen eines Kegelstumpfes von Oliver Michele in der Antwort von Omi67 wird ohne Beweis vorausgesetzt, die Formel für das Kegelvolumen sei
V=13πr2h .
Beweis zur Formel für das Volumen des großen Kegels in der Kegeldarstellung von O. Michele:
Den Kegelstumpf kann man sich vorstellen als einen Stapel unendlich dünner kreisförmiger Scheiben.
Die Fläche einer Scheibe ist
A=πr2 ,
ihr Volumen ist
V=πr2⋅dh .
dh ist die Dicke dieser Scheibe.
Der Tangens des Steigungswinkels einer Seitenlinie des Kegels ist
tan α=hgr1r1=hgtan α .
Dann ist der Radius jeder beliebigen Scheibe
r=htan α=h⋅r1hg.
h ist der Abstand der Scheibe von der Spitze des Kegels.
Mit Hilfe der Integralrechnung wird die Summe der Volumina der Scheiben ermittelt.
V=∫hg0π⋅r2⋅dh
r eingesetzt ergibt
V=∫hg0π⋅h2⋅r21h2g⋅dh
Die Konstanten kommen vor das bestimmte Integral.
V=π⋅r21h2g∫hg0h2⋅dh
Integriert ergibt das
V=π⋅r21h2g⋅[h33]hg0V=π⋅r21h2g⋅h3g3
Gekürzt und verallgemeinert bleibt
V=13⋅π⋅r2⋅h
q.e.d
Die weitere Herleitung der Formel für das Volumen eines Kegelstumpfes findest du in der Antwort von Omi67.
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