Auf einem Stammtisch treffen \(n\) Personen zusammen.
Jede Person hat mindestens \(\uparrow \frac{n+1}{2} \uparrow \) Freunde unter den n Personen.
Zu zeigen ist, dass man die Personen so an einen runden Tisch platzieren kann,
dass jeder zwischen zwei Freunden sitzt.
Und zwar bei beliebigem \(n\) !
Wenn wir ein \(n\)-Eck haben und jede Verbindung zu jeder anderen Ecke ziehen, so haben wir maximal \(n-1\)Verbindungen an jeder Ecke. Jede Verbindung bedeutet Freund sein miteinander. Oder anders gesagt, jede Person kann maximal \(n-1 \)Freunde haben.
Wir müssen nun zeigen das \(n-1\) immer größer oder gleich der Mindestanzahl der Freunde ist, die jede Person haben darf für ein beliebiges \(n > 2\). Dann haben wir eine allgemeine Lösung für \(n\ge 3\).
Wir können formulieren:
\(n-1 ~\ge ~ \uparrow \frac{n+1}{2} \uparrow\)
wobei \(\uparrow \dots \uparrow \) aufrunden bedeutet.
Für \(n=3\) gilt direkt
\(n-1 ~\ge~ \uparrow \frac{n+1}{2} \uparrow \\ 3-1 ~\ge~ \uparrow \frac{3+1}{2} \uparrow \\ 2 ~\ge~ 2\)
Das ist richtig. Die Ungleichung gilt also für \(n=3\).
Allgemein kann man zeigen:
\(n-1 ~\ge~ \uparrow \frac{n+1}{2} \uparrow ~<~ \underbrace{\frac{n+1}{2} + \frac12}_{=\frac{n+2}{2}}~ (\text{aufgerundet}) \)
Wenn wir \(n-1 ~\ge~\frac{n+2}{2}\) zeigen, so ist auch \(n-1 ~\ge~ \uparrow \frac{n+1}{2} \uparrow\),
da \(\uparrow \frac{n+1}{2} \uparrow ~<~ \frac{n+1}{2} + \frac12 \)
Beweis:
\(\begin{array}{rcll} n-1 &\ge& \frac{n+2}{2} \quad | \quad \cdot 2\\ 2n-2 &\ge& n+2 \\ 2n-n &\ge& 2+2 \\ n &\ge& 4 \end{array}\)
Die Ungleichung gilt für \( n \ge 4\). Für \(n=3\) haben wir sie direkt bewiesen. Somit gilt:
Die maximale Anzahl der Verbindungen(Freunde) an jeder Person im \(n\)-Eck beträgt \(n-1\)und\( \boxed{~ n-1 ~\ge~ \uparrow \frac{n+1}{2} \uparrow \qquad n\ge 3 ~}\)
Für \( n=4,~ n=5\) und \(n=6\) zeigen die Bilder die Verbindungen(Freunde)
Für \( n = 4\) ergeben sich je Person \(3\) Freunde.
Für \(n=5\) ergeben sich je Person \(4\) Freunde.
Für \(n=6\) ergebn sich je Person \(5\) Freunde.
Der Polygonring definiert, das die Personen jeweils zwischen zwei Freunden sitzen.
Es gibt minimalere Lösungen, was die jeweilige Anzahl der Freunde betrifft, doch das ist hier nicht gefordert.
+14538 
!
)
) 2,5; also 3 Freunde hat.
, 
