Wir wählen zwei beliebige Primzahlen \(p>q>3\).
Man beweise, dass \(p^2-q^2\) immer durch 24 teilbar ist.
1. Primfaktorzerlegung von 24:
\(24 = 2^3\cdot 3\)
Die Primfaktoren 2 und 3 treten in p und q nicht auf, da wir \(p>q>3\) definiert haben.
\(p \ne 2 \text{ und } p \ne 3 \\ q \ne 2 \text{ und } q\ne 3\)
Somit ist die 24 zu p und q teilerfremd!
\(ggT(p,24) =ggT(q,24) = 1.\)
\(24 = 3\cdot 8\)
Ich versuche jetzt zu zeigen, das \(p^2-1\) bzw. \(q^2-1\) durch 3 und durch 8 teilbar sind. Dann wäre auch \(p^2-1\) bzw. \(q^2-1\) durch 24 teilbar, da die 3 und die 8 teilerfremd sind.
2. Teilung durch 3:
Satz: (Euler)
Sei \(n\) ein Element der natürliche Zahlen.
Dann gilt für alle \( a\) ein Element der natürliche Zahlen, die teilerfremd zu \(n\) sind:
\(a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod n. \)
Wir setzen für \(a = p\) resp. \(a= q\) und für \(n\) die 3 ein und \( \varphi(p) = p-1\) also \(\varphi(3) = 2\):
\(p^{\varphi(3)} \equiv 1 \pmod 3 \\ p^{2} \equiv 1 \pmod 3 \\ p^{2} -1 \equiv 0 \pmod 3.\)
Somit ist \(p^2-1\) bzw. \(q^2-1\) immer durch 3 teilbar.
3. Teilung durch 8:
Alle Primzahlen > 3 sind endweder der Form \( (4\cdot n+1)\) oder der Form \((4\cdot n+3) \).
\(\begin{array}{cccc} \hline \text{ungerage Zahlen} & \text{gerage Zahlen} & \text{ungerage Zahlen} &\text{gerage Zahlen} \\ 4\cdot n + 1 & \text{nur die 2 ist Primzahl} & 4\cdot n + 3 & 4\cdot n \\ \hline 1 &2 &3 &4 \\ 5 &6 &7 &8 \\ 9 &10 &11 &12 \\ 13& 14 &15 &16 \\ 17& 18& 19 &20 \\ \cdots \\ \hline \end{array}\)
1. Primzahl Form:
\(\begin{array}{rcll} p^2 &=& (4n+1)^2 \\ p^2 &=& 16n^2+8n+1 \\ p^2-1 &=& 16n^2+8n \\ p^2-1 &=& 2\cdot 8n^2+8n \end{array}\)
Wie man sieht ist \(p^2-1\) durch 8 teilbar. Analog gilt das auch für \(q^2-1\)
2. Primzahl Form:
\(\begin{array}{rcll} p^2 &=& (4n+3)^2 \\ p^2 &=& 16n^2+8n+8+1 \\ p^2-1 &=& 16n^2+8n+8 \\ p^2-1 &=& 2\cdot 8n^2+8n+8\\ \end{array}\)
Wie man sieht ist \( p^2-1\) durch 8 teilbar. Analog gilt das auch für \(q^2-1\)
Fassen wir zusammen:
\(p^2-1 \equiv 0 \pmod {24}\) und \(q^2-1 \equiv 0 \pmod {24}\)
oder umgestellt:
\(p^2 \equiv 1 \pmod {24}\) und \(q^2 \equiv 1 \pmod {24}\)
Man beweise, dass \(p^2-q^2\) immer durch 24 teilbar ist.
\(\begin{array}{rcll} \underbrace{p^2}_{=1\pmod{24 }}- \underbrace{q^2}_{=1\pmod{24 }} &\equiv& 0 \pmod {24} \\\\ 1-1 &\equiv& 0 \pmod {24}\\ 0 &\equiv& 0 \pmod {24} \end{array}\)
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