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Hallo zusammen,

ich habe mir vorgenommen, hier kontinuierlich mathematische Knobeleien reinzustellen.

 

Und hier ist die nächste (deutlich leichter als Panorama 3D oder Der Stammtisch mal wieder):

 

Man beweise:

Sei n eine natürliche Zahl.

\(7^{2n}-17^{3n}\) ist immer durch 8 teilbar.

 

Hinweis: 7=(8-1) und 17=(2*8+1).

 

Ich wünsche viel Spaß beim Knobeln!

Grüße

melwei

laugh

 01.04.2016
bearbeitet von melwei  01.04.2016
 #1
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Sei n eine natürliche Zahl.
 \(7^{2n}-17^{3n}\)
 ist immer durch 8 teilbar.

 

\(\begin{array}{rcll} {\color{red}7}^{2n}-{\color{green}17}^{3n} \pmod 8 =\ ? \\\\ {\color{red}7} &\equiv& {\color{red}-1} \pmod 8 \\ {\color{green}17} &\equiv& {\color{green}1} \pmod 8 \\\\ {\color{red}7}^{2n}-{\color{green}17}^{3n} \pmod 8 & \equiv & {\color{red}(-1)}^{2n}-{\color{green}1}^{3n} \pmod 8\qquad | \qquad 2n \text{ ist eine gerade Zahl} \\ & \equiv & {\color{red}1}-{\color{green}1} \pmod 8 \\ & \equiv & 0 \pmod 8 \\ \end{array}\)

 

Der Rest ist 0, also ist \(7^{2n}-17^{3n} \) immer durch 8 teilbar.

 

laugh

 01.04.2016

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