Von Potenzen und Teilbarkeiten

Sei n eine natürliche Zahl.
 $7^{2n}-17^{3n}$
 ist immer durch 8 teilbar.

$\begin{array}{rcll} {\color{red}7}^{2n}-{\color{green}17}^{3n} \pmod 8 =\ ? \\\\ {\color{red}7} &\equiv& {\color{red}-1} \pmod 8 \\ {\color{green}17} &\equiv& {\color{green}1} \pmod 8 \\\\ {\color{red}7}^{2n}-{\color{green}17}^{3n} \pmod 8 & \equiv & {\color{red}(-1)}^{2n}-{\color{green}1}^{3n} \pmod 8\qquad | \qquad 2n \text{ ist eine gerade Zahl} \\ & \equiv & {\color{red}1}-{\color{green}1} \pmod 8 \\ & \equiv & 0 \pmod 8 \\ \end{array}$

Der Rest ist 0, also ist $7^{2n}-17^{3n}$ immer durch 8 teilbar.