Um die Antwort kann ich mich kümmern:
Der Induktionsanfang ist ja (wie meistens) noch recht leicht, wir setzen bei beiden Seiten der zu zeigenden Gleichung n=1 ein und sehen, dass beide Seiten das Ergebnis 1 liefern und somit gleich sind.
Als Induktionsvoraussetzung nehmen wir an, dass die Aussage für eine beliebige natürliche Zahl n gilt (also \({\displaystyle \displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\,}\) für ein n). Daraus wollen wir im Induktionsschritt folgern, dass die Aussage auch für n+1 gilt, also dass gilt
\({\displaystyle \displaystyle \sum _{i=1}^{n+1}i^2 = \frac{1}{6}(n+1)(n+1+1)(2(n+1)+1) = \frac{1}{6}(n+1)(n+2)(2n+3)\,} \).
Dafür betrachten wir beide Seiten der Ungleichung einzeln. In der rechten lösen wir nur die Klammern auf. Das kürz' ich ein bisschen ab, schaffst du bestimmt - wenn's dazu Fragen gibt frag' aber ruhig gern nach.
Die rechte Seite sieht dann so aus: \(\frac{1}{6}(2n^3+9n^2+13n+6)\).
Nun müssen wir "nur noch" zeigen, dass die linke Seite das gleiche Ergebnis liefert. Dafür spalten wir zunächst den letzten Summanden ab & benutzen dann die Induktionsvoraussetzung:
\(\sum_{i=1}^{n+1}i^2 = \sum_{i=1}^ni^2 + (n+1)^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) + (n+1)^2\)
Das ist der entscheidende Schritt: Weil wir ja angenommen hatten, dass die Aussage für n gilt, können wir die Summe bis n durch den eigentlich zu zeigenden Ausdruck ersetzen. Ab hier müssen eigentlich nur wieder Klammern aufgelöst und zusammengefasst werden. Zuerst klammere ich noch 1/6 aus, der Rest ergibt sich quasi automatisch:
\(\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) + (n+1)^2 = \frac{1}{6} [n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2] = \\ \frac{1}{6} [(n^2+n)(2n+1) + 6(n^2+2n+1)] = \\ \frac{1}{6} [ 2n^3+2n^2+2n^2+n+6n^2+12n+6] = \\ \frac{1}{6}(2n^3+10n^2+13n+6)\)
Das ist genau der gleiche Term wie der, den wir für die rechte Seite erhalten haben.
Wir haben also gezeigt: Wenn die Aussage für eine Zahl n gilt, dann liefern auch für n+1 beide Seiten das gleiche Ergebnis, die Aussage stimmt dann also auch für n+1. Damit sind wir fertig.
Frag' gern nach wenn irgendwas unklar ist, Induktion ist ein wichtiges, aber auch etwas schwieriges Konzept! :)
