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Dann hätte die Zahl 3 mehrere (also in dem Fall 2) Bilder in der Abbildung f

Folgender Ansatz könnte dich ans Ziel führen:
Wenn XA=0 für alle Matrizen X gilt, gilt's ja insbesondere auch für die Matrizen X_i , die an i-ter Stelle auf der Diagonalen eine 1 stehen haben und sonst überall nur Nullen. Wie sehen denn die Produkte X_iA aus? Du rechnest ja jeweils Zeile mal Spalte. In den Zeilen ohne die 1 kommen dabei sowieso nur Nullen raus, egal was in A steht. Die i-te Zeile (die mit der 1) liefert aber ein anderes Ergebnis - siehst du, was da 'rauskommt, und wie man dann den Beweis gar fertigstellt? 

Frag' gern nochmal nach wenn nicht! :)

Was würde diese Abbildung denn tun, wenn man für n 3 einsetzt? Man setzt dann ja gleichzeitig eine Primzahl ein, aber auch eine gerade Zahl.

was sind die kleinsten vier natürlichen zahlen die mit der zahl 48 jeweils den grössten gemeinsamen teiler 6 haben?

Hallo, danke für deine Antwort!

Könnte man dann nicht die aktuelle Abbildung wie folgt abändern:

$f = \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} : n \rightarrowtail \{ 1 \ \ | \ \ n \ \ Primzahl \ \ ; \ \ 2 \ \ | \ \ n \ \ ungerade \ \ ; \ \ n/2 \ \ | \ \ n \ \ gerade\}$

Mit den Pfeilen muss man etwas präziser unterscheiden, evtl war meine Faulheit da schlecht. Ich stells mal in LaTeX dar:

Wir suchen ja so&so eine Abbildung $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$. Wenn wir angeben wollen, was die macht, passiert das meistens elementweise:

$f : n \mapsto n^2$ bildet beispielsweise jede natürliche Zahl auf ihr Quadrat ab. Man beachte: Der Pfeil, der angibt, von welcher Menge in welche die Funktion abbildet, ist ein "einfacher" Pfeil, der Pfeil, der angibt, worauf ein einzelnes Element abgebildet wird, hat links noch nen kleinen Strich.

Ich hatte letzteren gemeint, also 

$f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} : n \mapsto \{^{1 \ | n \ ungerade}_{2 \ | n \ gerade}$

Die 2 ist aber ja das Problem, da wollen wir noch etwas ändern, sodass jede Zahl irgendwann getroffen wird.

Das könnte dann folgendermaßen laufen:

$f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} : n \mapsto \{^{1 \ | n \ ungerade}_{n/2 \ | n \ gerade}$

So bilden wir alle ungeraden Zahlen sowieso auf 1 ab, haben also unendlich viele Urbilder für 1. Die geraden Zahlen werden der Reihe nach auf alle natürlichen Zahlen abgebildet. So treffen wir jede, surjektivität ist also erfüllt.

Vielleicht kannst du dir zur Übung eine ähnliche Funktion ausdenken, die surjektiv ist und bei der sowohl die 1 als auch die 2 unendlich viele Urbilder haben.

Dann würde die Abbildung wie folgt lauten, oder?

f : n -> N

Die erste Eigenschaft bedeutet ja, dass f jedes Element der Bildmenge mindestens einmal ansteuert. Die zweite Eigenschaft bedeutet, dass trotzdem auch unendlich viele Elemente auf 1 abgebildet werden. 

Beispielsweise wäre die Abbildung, die die ersten 10 Elemente irgendwie vertauscht und danach jede Zahl auf sich selbst abbildet, zumindest schonmal surjektiv. (Die Identität selbst auch, aber ich wollte ein anderes Beispiel nennen.) Sie bildet aber nur eine Zahl auf 1 ab - so ein Ansatz hilft uns also nicht.

Betrachte als "Hinführung" vielleicht zunächst folgende Abbildung:
f:n -> 1, wenn n ungerade ist, und f:n->2, wenn n gerade ist.

Diese Abbildung wechselt quasi immer zwischen 1 und 2 hin & her, daher hat die Menge der Urbilder von 1 unendlich viele Elemente (genau wie die von 2). Wie könntest du diese Abbildung nun abändern, sodass jede natürliche Zahl getroffen wird, nicht nur 1&2?

Klar, wenn du versuchst durch Null zu teilen, erhältst du die passende Fehlermeldung.

Ok. Vielen Dank. 

Ein Prisma ist ein Körper, der zwei parallele, deckungsgleiche (also gleichförmige) Flächen hat. Andere Bedingungen gibt's eignetlich nicht, gängig ist aber der Sonderfall des geraden Prismas - bei einem geraden Prisma stehen die Verbindungslinien zwischen den beiden parallelen und deckungsgleichen Flächen senkrecht auf besagten Flächen.

Ein Beispiel dafür ist ein Zylinder, die parallelen gleichen Flächen sind die Kreise oben & unten auf dem Zylinder. Ein Zylinder ist sogar ein gerades Prisma.

Um die Antwort kann ich mich kümmern: 

Der Induktionsanfang ist ja (wie meistens) noch recht leicht, wir setzen bei beiden Seiten der zu zeigenden Gleichung n=1 ein und sehen, dass beide Seiten das Ergebnis 1 liefern und somit gleich sind.

Als Induktionsvoraussetzung nehmen wir an, dass die Aussage für eine beliebige natürliche Zahl n gilt (also ${\displaystyle \displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\,}$ für ein n). Daraus wollen wir im Induktionsschritt folgern, dass die Aussage auch für n+1 gilt, also dass gilt

${\displaystyle \displaystyle \sum _{i=1}^{n+1}i^2 = \frac{1}{6}(n+1)(n+1+1)(2(n+1)+1) = \frac{1}{6}(n+1)(n+2)(2n+3)\,}$.

Dafür betrachten wir beide Seiten der Ungleichung einzeln. In der rechten lösen wir nur die Klammern auf. Das kürz' ich ein bisschen ab, schaffst du bestimmt - wenn's dazu Fragen gibt frag' aber ruhig gern nach.

Die rechte Seite sieht dann so aus: $\frac{1}{6}(2n^3+9n^2+13n+6)$.

Nun müssen wir "nur noch" zeigen, dass die linke Seite das gleiche Ergebnis liefert. Dafür spalten wir zunächst den letzten Summanden ab & benutzen dann die Induktionsvoraussetzung:

$\sum_{i=1}^{n+1}i^2 = \sum_{i=1}^ni^2 + (n+1)^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) + (n+1)^2$

Das ist der entscheidende Schritt: Weil wir ja angenommen hatten, dass die Aussage für n gilt, können wir die Summe bis n durch den eigentlich zu zeigenden Ausdruck ersetzen. Ab hier müssen eigentlich nur wieder Klammern aufgelöst und zusammengefasst werden. Zuerst klammere ich noch 1/6 aus, der Rest ergibt sich quasi automatisch:

$\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) + (n+1)^2 = \frac{1}{6} [n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2] = \\ \frac{1}{6} [(n^2+n)(2n+1) + 6(n^2+2n+1)] = \\ \frac{1}{6} [ 2n^3+2n^2+2n^2+n+6n^2+12n+6] = \\ \frac{1}{6}(2n^3+10n^2+13n+6)$

Das ist genau der gleiche Term wie der, den wir für die rechte Seite erhalten haben. 

Wir haben also gezeigt: Wenn die Aussage für eine Zahl n gilt, dann liefern auch für n+1 beide Seiten das gleiche Ergebnis, die Aussage stimmt dann also auch für n+1. Damit sind wir fertig.

Frag' gern nach wenn irgendwas unklar ist, Induktion ist ein wichtiges, aber auch etwas schwieriges Konzept! :)

Die Wurzel muss Null sein, damit wir eine doppelte Lösung für u und damit auch für x erhalten. Dann ist nämlich gegeben, dass der Schnittpunkt auch ein Berührpunkt ist, also der gewünschte tangentiale Verlauf vorliegt.

Alternativ kannst du auch das Zwischenergebnis als "Vor-Ergebnis" so hinnehmen und dann erstmal die Steigungen gleichsetzen, ist hier aber (glaub' ich) schwerer.

Also um genauer zu sein, warum muss die Wurzel 0 sein?

Vielen Dank für die Hilfe, ich verstehe die Schritte bis zu der Wurzel, warum ist die Antwort jetzt genau 2?

LG

An den Kanten $x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\left \{ \right \}$von q geteilt durch Magmablock

Eine Verhältnisgleichung als weitere Alternative:

$33g:x=1000g:13,64€\\ 1000g\cdot x =33g\cdot 13,64€\\ x=\dfrac{33g\cdot 13,64€}{1000g}\\ \color{blue}x=0,45€$

  !

Zum Dreisatz sei folgende Alternative vorgestellt:

$13,64€ \cdot \frac{33g}{1000g} = 0,45€$

Sieht nach einer Ableitungsaufgabe aus. Verrat' uns gern, in welcher Klasse du bist, damit wir keine Mehtoden nutzen, die du evtl. noch nicht kennst.

Dass das Anschlussgleis tangential anschließt, bedeutet, dass im Schnittpunkt Auch die Steigungen übereinstimmen. Das ist genau dann der Fall, wenn der x-Wert des Schnittpunkts doppelte Lösung der Gleichung ist, die durch Gleichsetzen der Funktionen entsteht.

Wir überlegen uns zunächst, wo der Schnittpunkt ist:

$\frac{1}{2}x+2 = a\sqrt x \\ \frac{1}{2}x -a \sqrt x +2 = 0 \ \ |u=\sqrt x \\ 0,5u^2-au+2 = 0 \\ u_{1, 2} = \frac{a \pm \sqrt{a^2-4\cdot 0,5 \cdot 2}}{2 \cdot 0,5} = a \pm \sqrt{a^2-4}$

Mit a=2 oder a=-2 bekämen wir eine doppelte Lösung, denn dann ist a²-4=0. Trotzdem macht hier a=-2 keinen Sinn, denn dann verliefe das Anschlussgleis unterhalb der x-Achse. Wir erhalten also a=2. Damit ist dann u=2 und damit (wegen $u=\sqrt x$) x=4. 

Der y-Wert des Schnittpunkts ergibt sich durch Einsetzen in eine der Funktionen: 0,5*4+2 = 4. Der Schnittpunkt ist also (4|4).

Für die b) brauchen wir jetzt wirklich die Ableitung: Es ist $g'(x) = \frac{a}{2\sqrt x} = \frac{2}{2\sqrt x} = \frac{1}{\sqrt x}$. (Frag' gern nach wenn das unklar ist!)

Damit können wir als Zusatz zur a) noch schnell zeigen, dass im Schnittpunkt (4|4) die Steigungen der Geraden und der Anschlussgleis-Fkt. übereinstimmen: Es ist g'(4) = 0,5, was genau die Geradensteigung ist - passt!

Jetzt zur eigentlichen Aufgabe: "exakt nach nordosten" bedeutet hier vor allem "parallel zur Winkelhalbierenden des ersten Quadranten", also mit Steigung 1. Wir wollen also wissen: Wo ist g'(x)=1? Die Gleichung kannst du bestimmt selbst lösen, das Ergebnis ist x=1.

Ich hoff' das hilft, frag' gern nach wenn was unklar ist! :)

Die Rundungsfehler müsstest du nicht unbedingt haben, dein Wert für x ist ja noch exakt.

Er lernt dann in Woche 1 genau 13/6 h = 2h 10min. In Woche 2 sind's dann 3:20 mehr, also 5h 30m. In Woche 3 sind's 4h 20min. So erhält man auch exakt die 12h in Summe. 

Also du musst herausfinde, wie viel er in der ersten Woche gelernt hat, um die anderen Ergebnisse herauszufinden.

Dafür setzen wir die erste Woche gleich „x“ (Damit wir eine Variable haben)

Die zweite Woche setzen wir gleich „y“ und die Dritte gleich „z“.

x=12h-y-z (Der Junge hat insgesamt 12 Stunden gelernt.

$x = 12h-(x+3\frac{1}{3}h)-(x+2\frac{1}{6}h)$

$x = 12h-x-\frac{10}{3}h-x-\frac{13}{6}h$   vor der Klammer war ein Minus, so haben sich alle Vorzeichen geändert und ich habe die Brüche zusammengefasst

$x = 12h-\frac{20}{6}h-\frac{13}{6}h-2x=\frac{13}{2}h-2x$  |+2x

$3x=\frac{13}{2}|:3$  

$x=\frac{13}{6}$  

In der ersten Woche hat er ungefähr 2,2h gelernt. In der Zweiten 2,2h+3,3h=5,5h. Und in der Dritten 2,2h+2,2h=4,4h.

2,2+5,5+4,4=12,1 Also er hat insgesamt 12h gelernt. Die 0,1 sind Rundungsfehler.

Super vielen Dank. Das hilft mir weiter.

Tausend Dank. Das hat mir sehr geholfen.

Ich weiß zwar nicht die Antwort, jedoch weiß ich, wie du es beschreibst:

${\displaystyle \displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\,}$

Besser, als nichts zu schreiben! :)

Hier musst du den Dreisatz verwenden:

1000g=13,64€ | beide Seiten durch 1000 teilen

1g=0,01364€   | beide Seiten mal 33 um auf die 33g zu kommen

33g = 0,45012€

Das sind ungefähr 0,45€ oder 45 Cent