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Guten Abend,

habe Problem bei folgender Aufgabe:

 

Sei A ∈ Mmn(K) eine Matrix, sodass XA = 0 ∈ Mmn(K) für alle Matrizen X ∈ Mmm(K) gilt. Beweisen Sie, dass A die Nullmatrix in Mmn(K) ist.

 

Ich weiß nicht wie ich da überhaupt vorgehen soll...

 16.10.2022
 #1
avatar+3923 
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Folgender Ansatz könnte dich ans Ziel führen:
Wenn XA=0 für alle Matrizen X gilt, gilt's ja insbesondere auch für die Matrizen Xi , die an i-ter Stelle auf der Diagonalen eine 1 stehen haben und sonst überall nur Nullen. Wie sehen denn die Produkte XiA aus? Du rechnest ja jeweils Zeile mal Spalte. In den Zeilen ohne die 1 kommen dabei sowieso nur Nullen raus, egal was in A steht. Die i-te Zeile (die mit der 1) liefert aber ein anderes Ergebnis - siehst du, was da 'rauskommt, und wie man dann den Beweis gar fertigstellt? 

 

Frag' gern nochmal nach wenn nicht! :)

 17.10.2022
 #2
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Ne ich komm da nicht weiter... könnte doch auch Ai sein?

Und wie fertige ich den Beweis überhaupt an?

 17.10.2022
 #3
avatar+3923 
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Mein Anfang ist quasi schon die Hälfte des Beweises, viel kommt nicht mehr.

 

Mit den Xi-Matrizen erhalten wir beim Matrixprodukt XiA eine Matrix, die bei allen außer der i-ten Zeile sowieso Nullzeilen stehen hat. Die i-te Zeile ist genau die i-te Zeile der Matrix A. Da aber das Produkt XiA auch die Nullmatrix sein muss (nach Voraussetzung) besteht die i-te Zeile von A nur aus Nullen. Weil das für alle Xi-Matrizen gelten muss besteht A also aus Null-Zeilen und ist daher die Nullmatrix.

 

Frag' auf jeden Fall nach wenn noch was unklar ist, beweisen ist nicht so leicht am Anfang!

Probolobo  17.10.2022

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