Also gut, ein bisschen mehr Kombinatorik!
Wir betrachten erstmal 2 einfache Beispiele:
Wollen wir die Buchstaben des Wortes BUCH anordnen, so haben wir für den ersten Buchstaben 4 Möglichkeiten, für den zweiten 3 (haben ja schon einen ausgewählt), für den dritten noch 2 und für den letzten bleibt nur einer übrig. Insgesamt ergibt das 4! Möglichkeiten.
Generell also: Die Anzahl der Möglichkeiten, n Sachen anzuordnen, ist n!.
Problematisch wird's erst, wenn Buchstaben mehrfach vorkommen:
Wollen wir auch bei ABBA alle Ordnungs-Möglichkeiten zählen, so wäre 4! zu viel. Das Problem fällt auf, wenn man die A's und die B's durchnummeriert:
Betrachten wir A1B1B2A2, dann stimmt's mit 4!, weil wir ja wieder vier verschiedene Objekte betrachten. Ob wir aber nun das "Original-Wort" oder A2B2B1A1 sehen macht ja keinen Unterschied. Daher wird ein Nenner eingebaut, der uns die Mehrfachzählungen "rausteilt". In diesem kommt für jeden mehrfach genutzten Buchstaben ein Faktor vor, der selbst wieder eine Fakultät ist. Er soll zählen, auf wie viele Arten man die Doppel-Buchstaben sortieren könnte, wenn man sie unterscheiden könnte. In diesem Fall: Die As auf 2! Arten, die Bs auch. Insgesamt erhalten wir \(\frac{4!}{2! \cdot 2!}\). Das sind dann nur 6 Stück - überzeugt euch von der Richtigkeit meiner Ausführungen, indem ihr die 6 Anordnungen von ABBA aufschreibt! ;)
Generell haben wir also 6!/2! Möglichkeiten, die Buchstaben von ASINUS anzuordnen. Die "Sonderbedingung", dass die beiden S nebeneinander vorkommen sollen, müssen wir aber auch beachten. So sind nur noch folgende "Grundgerüste" möglich:
SSXXXX
XSSXXX
XXSSXX
XXXSSX
XXXXSS
Wobei für X die 4 übrigen Buchstaben eingesetzt werden müssen. Für die "XXXX"-Stränge haben wir 4! Möglichkeiten. Wegen den 5 Grundgerüsten haben wir also 5*4! =5! = 120 Möglichkeiten, die Buchstaben wir gewünscht zu sortieren.
Die besondere Schwierigkeit bei PROBOLOBO war, dass beides zu tun ist: Die Grundgerüst-Überlegung vor der Fakultätsbildung und das "Herausteilen" von doppelt gezählten Anordnungen aufgrund der vielen O's.
Ich hoff' das macht's klarer, fragt gern nach wenn was unklar ist! :)
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