+5 Irgendwie kann ich hier leider kein Bild hochladen.. Ich versuche also die Aufgabe aufzuschreiben.
Summenzeichen (oben auf dem Summenzeichen steht ,,n'' unten steht: i=1) neben dem Summenzeichen i^2 = 1/6 n (n+1)(2n+1)
Ich verstehe nicht wie ich hier eine vollständige Induktion anwenden soll. zwar steht mir hier eine Lösung parat die ich aber leider nicht verstehe ohne das mir jemand eventuell die Schritte die er unternimmt erklärt...
ich wäre über jede Hilfe sehr dankbar!!!
Ich weiß zwar nicht die Antwort, jedoch weiß ich, wie du es beschreibst:
\( {\displaystyle \displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\,}\)
Besser, als nichts zu schreiben! :)
+3976 Um die Antwort kann ich mich kümmern:
Der Induktionsanfang ist ja (wie meistens) noch recht leicht, wir setzen bei beiden Seiten der zu zeigenden Gleichung n=1 ein und sehen, dass beide Seiten das Ergebnis 1 liefern und somit gleich sind.
Als Induktionsvoraussetzung nehmen wir an, dass die Aussage für eine beliebige natürliche Zahl n gilt (also \({\displaystyle \displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\,}\) für ein n). Daraus wollen wir im Induktionsschritt folgern, dass die Aussage auch für n+1 gilt, also dass gilt
\({\displaystyle \displaystyle \sum _{i=1}^{n+1}i^2 = \frac{1}{6}(n+1)(n+1+1)(2(n+1)+1) = \frac{1}{6}(n+1)(n+2)(2n+3)\,} \).
Dafür betrachten wir beide Seiten der Ungleichung einzeln. In der rechten lösen wir nur die Klammern auf. Das kürz' ich ein bisschen ab, schaffst du bestimmt - wenn's dazu Fragen gibt frag' aber ruhig gern nach.
Die rechte Seite sieht dann so aus: \(\frac{1}{6}(2n^3+9n^2+13n+6)\).
Nun müssen wir "nur noch" zeigen, dass die linke Seite das gleiche Ergebnis liefert. Dafür spalten wir zunächst den letzten Summanden ab & benutzen dann die Induktionsvoraussetzung:
\(\sum_{i=1}^{n+1}i^2 = \sum_{i=1}^ni^2 + (n+1)^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) + (n+1)^2\)
Das ist der entscheidende Schritt: Weil wir ja angenommen hatten, dass die Aussage für n gilt, können wir die Summe bis n durch den eigentlich zu zeigenden Ausdruck ersetzen. Ab hier müssen eigentlich nur wieder Klammern aufgelöst und zusammengefasst werden. Zuerst klammere ich noch 1/6 aus, der Rest ergibt sich quasi automatisch:
\(\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) + (n+1)^2 = \frac{1}{6} [n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2] = \\ \frac{1}{6} [(n^2+n)(2n+1) + 6(n^2+2n+1)] = \\ \frac{1}{6} [ 2n^3+2n^2+2n^2+n+6n^2+12n+6] = \\ \frac{1}{6}(2n^3+10n^2+13n+6)\)
Das ist genau der gleiche Term wie der, den wir für die rechte Seite erhalten haben.
Wir haben also gezeigt: Wenn die Aussage für eine Zahl n gilt, dann liefern auch für n+1 beide Seiten das gleiche Ergebnis, die Aussage stimmt dann also auch für n+1. Damit sind wir fertig.
Frag' gern nach wenn irgendwas unklar ist, Induktion ist ein wichtiges, aber auch etwas schwieriges Konzept! :)
