Hallo,
ich kämpfe zur Zeit mit Abbildungen und verstehe bei einer Aufgabe nur Bahnhof:
Definieren Sie eine Abbildung f : N -> N mit folgenden Eigenschaften:
(1) f ist surjektiv
und
(2) die Menge der Urbilder von 1 unter f hat unendliche viele Elemente
Wie muss ich da vorgehen? Ich finde kein Anfang und weiß nicht was ich machen soll...
Danke!
+3976 Die erste Eigenschaft bedeutet ja, dass f jedes Element der Bildmenge mindestens einmal ansteuert. Die zweite Eigenschaft bedeutet, dass trotzdem auch unendlich viele Elemente auf 1 abgebildet werden.
Beispielsweise wäre die Abbildung, die die ersten 10 Elemente irgendwie vertauscht und danach jede Zahl auf sich selbst abbildet, zumindest schonmal surjektiv. (Die Identität selbst auch, aber ich wollte ein anderes Beispiel nennen.) Sie bildet aber nur eine Zahl auf 1 ab - so ein Ansatz hilft uns also nicht.
Betrachte als "Hinführung" vielleicht zunächst folgende Abbildung:
f:n -> 1, wenn n ungerade ist, und f:n->2, wenn n gerade ist.
Diese Abbildung wechselt quasi immer zwischen 1 und 2 hin & her, daher hat die Menge der Urbilder von 1 unendlich viele Elemente (genau wie die von 2). Wie könntest du diese Abbildung nun abändern, sodass jede natürliche Zahl getroffen wird, nicht nur 1&2?
+3976 Mit den Pfeilen muss man etwas präziser unterscheiden, evtl war meine Faulheit da schlecht. Ich stells mal in LaTeX dar:
Wir suchen ja so&so eine Abbildung \(f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}\). Wenn wir angeben wollen, was die macht, passiert das meistens elementweise:
\(f : n \mapsto n^2\) bildet beispielsweise jede natürliche Zahl auf ihr Quadrat ab. Man beachte: Der Pfeil, der angibt, von welcher Menge in welche die Funktion abbildet, ist ein "einfacher" Pfeil, der Pfeil, der angibt, worauf ein einzelnes Element abgebildet wird, hat links noch nen kleinen Strich.
Ich hatte letzteren gemeint, also
\(f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} : n \mapsto \{^{1 \ | n \ ungerade}_{2 \ | n \ gerade}\)
Die 2 ist aber ja das Problem, da wollen wir noch etwas ändern, sodass jede Zahl irgendwann getroffen wird.
Das könnte dann folgendermaßen laufen:
\(f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} : n \mapsto \{^{1 \ | n \ ungerade}_{n/2 \ | n \ gerade}\)
So bilden wir alle ungeraden Zahlen sowieso auf 1 ab, haben also unendlich viele Urbilder für 1. Die geraden Zahlen werden der Reihe nach auf alle natürlichen Zahlen abgebildet. So treffen wir jede, surjektivität ist also erfüllt.
Vielleicht kannst du dir zur Übung eine ähnliche Funktion ausdenken, die surjektiv ist und bei der sowohl die 1 als auch die 2 unendlich viele Urbilder haben.
Hallo, danke für deine Antwort!
Könnte man dann nicht die aktuelle Abbildung wie folgt abändern:
\(f = \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} : n \rightarrowtail \{ 1 \ \ | \ \ n \ \ Primzahl \ \ ; \ \ 2 \ \ | \ \ n \ \ ungerade \ \ ; \ \ n/2 \ \ | \ \ n \ \ gerade\}\)
