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Hallo, ich schreibe demnächst einen Test und habe zur Vorbereitung mir Aufgaben im Buch angeschaut, könnte mir jemand vielleicht bei der Aufgabe helfen? LG

 11.10.2022
 #1
avatar+3976 
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Sieht nach einer Ableitungsaufgabe aus. Verrat' uns gern, in welcher Klasse du bist, damit wir keine Mehtoden nutzen, die du evtl. noch nicht kennst.

 

Dass das Anschlussgleis tangential anschließt, bedeutet, dass im Schnittpunkt Auch die Steigungen übereinstimmen. Das ist genau dann der Fall, wenn der x-Wert des Schnittpunkts doppelte Lösung der Gleichung ist, die durch Gleichsetzen der Funktionen entsteht.

Wir überlegen uns zunächst, wo der Schnittpunkt ist:

 

\(\frac{1}{2}x+2 = a\sqrt x \\ \frac{1}{2}x -a \sqrt x +2 = 0 \ \ |u=\sqrt x \\ 0,5u^2-au+2 = 0 \\ u_{1, 2} = \frac{a \pm \sqrt{a^2-4\cdot 0,5 \cdot 2}}{2 \cdot 0,5} = a \pm \sqrt{a^2-4}\)

 

Mit a=2 oder a=-2 bekämen wir eine doppelte Lösung, denn dann ist a2-4=0. Trotzdem macht hier a=-2 keinen Sinn, denn dann verliefe das Anschlussgleis unterhalb der x-Achse. Wir erhalten also a=2. Damit ist dann u=2 und damit (wegen \(u=\sqrt x\)) x=4. 

Der y-Wert des Schnittpunkts ergibt sich durch Einsetzen in eine der Funktionen: 0,5*4+2 = 4. Der Schnittpunkt ist also (4|4).

 

Für die b) brauchen wir jetzt wirklich die Ableitung: Es ist \(g'(x) = \frac{a}{2\sqrt x} = \frac{2}{2\sqrt x} = \frac{1}{\sqrt x}\). (Frag' gern nach wenn das unklar ist!)

Damit können wir als Zusatz zur a) noch schnell zeigen, dass im Schnittpunkt (4|4) die Steigungen der Geraden und der Anschlussgleis-Fkt. übereinstimmen: Es ist g'(4) = 0,5, was genau die Geradensteigung ist - passt!

Jetzt zur eigentlichen Aufgabe: "exakt nach nordosten" bedeutet hier vor allem "parallel zur Winkelhalbierenden des ersten Quadranten", also mit Steigung 1. Wir wollen also wissen: Wo ist g'(x)=1? Die Gleichung kannst du bestimmt selbst lösen, das Ergebnis ist x=1.

 

Ich hoff' das hilft, frag' gern nach wenn was unklar ist! :)

 11.10.2022
 #2
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Vielen Dank für die Hilfe, ich verstehe die Schritte bis zu der Wurzel, warum ist die Antwort jetzt genau 2?

LG

ichmagkartoffeln  12.10.2022
 #3
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Also um genauer zu sein, warum muss die Wurzel 0 sein?

Gast 12.10.2022
 #4
avatar+3976 
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Die Wurzel muss Null sein, damit wir eine doppelte Lösung für u und damit auch für x erhalten. Dann ist nämlich gegeben, dass der Schnittpunkt auch ein Berührpunkt ist, also der gewünschte tangentiale Verlauf vorliegt.

Alternativ kannst du auch das Zwischenergebnis als "Vor-Ergebnis" so hinnehmen und dann erstmal die Steigungen gleichsetzen, ist hier aber (glaub' ich) schwerer.

Probolobo  12.10.2022
 #5
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+1

Ok. Vielen Dank. laugh

Gast 12.10.2022

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