Wahrscheinlich dürft das Integral \(2000\cdot\displaystyle\int\limits_{0}^{3} (1+t\cdot\mathrm{e}^{-t}+3t) \,\mathrm{d}t\) "einfach so" in euren Rechner eintippen (Ich gehe mal davon aus, dass ihr einen Rechner mit CAS oder zumindest einen GTR benutzt.
Trotzdem hier die "partielle Integration" für die händische Berechnung:
Es gilt:
\(\displaystyle\int (u(t)\cdot v'(t))\,\mathrm{d}t=u(t)\cdot v(t)-\int (u'(t)\cdot v(t))\,\mathrm{d}t\)
Das ist, wenn man so will, die "Umkehrung" der Produktregel beim Differenzieren.
Für bestimmte Integrale gilt somit:
\(\displaystyle\int\limits_a^b (u(t)\cdot v'(t))\,\mathrm{d}t=\displaystyle \Big[u(t)\cdot v(t) \Big]_a^b-\int\limits_a^b (u'(t)\cdot v(t))\,\mathrm{d}t\)
Wie von Probolobo vorgeschlagen, teilen wir das Integral auf und betrachten nur
\(\displaystyle\int\limits_0^3 (t\cdot \mathrm{e}^{-t})\,\mathrm{d}t\), es ist also \(u(t)=t\) und \(v'(t)=\mathrm{e}^{-t}\)
Somit gilt: \(u'(t)=1\) und \(v(t)=-\mathrm{e}^{-t}\)
Und dies in obige Formel eingesetzt ergibt dann:
\(\displaystyle\int\limits_0^3 (t\cdot \mathrm{e}^{-t})\,\mathrm{d}t=\displaystyle \Big[t\cdot (-\mathrm{e}^{-t}) \Big]_0^3-\int\limits_0^3 (1\cdot (-\mathrm{e}^{-t}))\,\mathrm{d}t=\displaystyle \Big[t\cdot (-\mathrm{e}^{-t}) \Big]_0^3+\int\limits_0^3 \mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t=\displaystyle \Big[t\cdot (-\mathrm{e}^{-t}) \Big]_0^3+\displaystyle \Big[ -\mathrm{e}^{-t} \Big]_0^3\)
und das sollte dann kein Problem mehr sein 
!
Es sollte natürlich 
