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Hallo ich bräuchte einmal Hilfe bei dieser Aufgabe :) Danke im Vorraus!

Die Planungsabteilung einer Unternehmung rechnet für die nächsten 3 Jahre mit einer Beziehung 𝐾(𝑡) = 2000 (1 + 𝑡 · 𝑒-t+ 3𝑡) genügenden Kostenentwicklung, wobei 𝐾{𝑡1,𝑡2 } =  ∫ 𝐾(𝑡) 𝑡2 𝑡1 𝑑𝑡 die Gesamtkosten in Geldeinheiten im Zeitintervall [𝑡1;𝑡2 ] beschreibt. Analog prognostiziert die Marketingabteilung eine Umsatzentwicklung von 𝑈(𝑡) = 13000 ( 2/90𝑡2 + 1/10𝑡 + 1). Berechnen Sie die in den nächsten 3 Jahren entstehenden Gesamtkosten, den Gesamtumsatz sowie den Gesamtgewinn. 

 

Teillösungen würden mir auch schon reichen :)

 30.03.2021
 #1
avatar+1738 
+1

Meinst du damit: ∫ 𝐾(𝑡) 𝑡2 𝑡1 𝑑𝑡  vielleicht \(\int_{t_1}^{t_2} K(t) dt\) ?

 

Dann wären die Gesamtkosten das Integral von K(t) mit Grenzen 0&3 (von jetzt - 0 - bis in drei Jahren - 3).

Der Gesamtumsatz ist ganz analog das Integral von U(t) mit Grenzen 0&3. 

Für den Gesamtgewinn würde ich die Gesamtkosten vom Gesamtumsatz abziehen, kann mich da aber durchaus täuschen.

 

Für's Integral von K(t) sei noch der Begriff "Partielle Ingetration" in den Raum geworfen. Hab grad' keine Zeit dafür, kann's dir morgen aber machen. Ich hoff' das hilft soweit schonmal :)

 30.03.2021
 #2
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Ja genau. Wusste nicht wie man hier das Integral eintippt :) 

Gast 30.03.2021
 #3
avatar+1738 
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Jo kein Thema.

Würd auf jeden Fall das Integral von K(t) erstmal aufspalten:

\(\int_0^3 K(t) dt = 2000\cdot \int_0^3(1+t \cdot e^{-t} +3t) dt = 2000 \cdot (\int_0^3 (1+3t)dt + \int_0^3t\cdot e^{-t} dt)\)

 

Dann ist die 2000 schonmal raus aus der Rechnung, 1+3t integrieren ist leicht (Stammfkt. t+1,5t2 ) und der schwierige Part, nämlich das Integrieren vom e-Teil, steht alleine. Und für das e-Integral ist dann eben partielles Integrieren nötig. Hab's lang nicht mehr gemacht und muss die Formel selber erst nachschlagen, das gibt's dann morgen :D Du könntest's aber auch von da an gut selbst schaffen wenn du die Formel googlest, sag' gern hier Bescheid wenn's funktioniert hat.

Probolobo  30.03.2021
 #4
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+1

Wahrscheinlich dürft das Integral \(2000\cdot\displaystyle\int\limits_{0}^{3} (1+t\cdot\mathrm{e}^{-t}+3t) \,\mathrm{d}t\) "einfach so" in euren Rechner eintippen (Ich gehe mal davon aus, dass ihr einen Rechner mit CAS oder zumindest einen GTR benutzt.

Trotzdem hier die "partielle Integration" für die händische Berechnung:

Es gilt:

\(\displaystyle\int (u(t)\cdot v'(t))\,\mathrm{d}t=u(t)\cdot v(t)-\int (u'(t)\cdot v(t))\,\mathrm{d}t\)

Das ist, wenn man so will, die "Umkehrung" der Produktregel beim Differenzieren.

Für bestimmte Integrale gilt somit:

\(\displaystyle\int\limits_a^b (u(t)\cdot v'(t))\,\mathrm{d}t=\displaystyle \Big[u(t)\cdot v(t) \Big]_a^b-\int\limits_a^b (u'(t)\cdot v(t))\,\mathrm{d}t\)

Wie von Probolobo vorgeschlagen, teilen wir das Integral auf und betrachten nur

\(\displaystyle\int\limits_0^3 (t\cdot \mathrm{e}^{-t})\,\mathrm{d}t\), es ist also  \(u(t)=t\)  und \(v'(t)=\mathrm{e}^{-t}\)

Somit gilt: \(u'(t)=1\) und \(v(t)=-\mathrm{e}^{-t}\)

Und dies in obige Formel eingesetzt ergibt dann:

\(\displaystyle\int\limits_0^3 (t\cdot \mathrm{e}^{-t})\,\mathrm{d}t=\displaystyle \Big[t\cdot (-\mathrm{e}^{-t}) \Big]_0^3-\int\limits_0^3 (1\cdot (-\mathrm{e}^{-t}))\,\mathrm{d}t=\displaystyle \Big[t\cdot (-\mathrm{e}^{-t}) \Big]_0^3+\int\limits_0^3 \mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t=\displaystyle \Big[t\cdot (-\mathrm{e}^{-t}) \Big]_0^3+\displaystyle \Big[ -\mathrm{e}^{-t} \Big]_0^3\)

und das sollte dann kein Problem mehr sein cheeky

 01.04.2021
 #5
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+1

Ach ja, noch was... laugh

Noch schneller geht's natürlich, wenn man vorher schon mal die Funktion \(f(t)=-(t+1)\cdot \mathrm{e}^{-t}\)

differenziert haben sollte. Dann weiß man nämlich, dass dann \(f'(t)=t\cdot \mathrm{e}^{-t}\) gilt.

Und im Umkehrschluss also für \(f(t)=t\cdot \mathrm{e}^{-t}\) die Funktion \(F(x)=-(t+1)\cdot \mathrm{e}^{-t}\) eine Stammfunktion sein muss.

Demnach ist also

\(\displaystyle\int\limits_0^3 (t \cdot \mathrm{e}^{-t}) \,\mathrm{d}t=\Big[-(t+1)\cdot \mathrm{e}^{-t} \Big]_0^3\)

Was tatsächlich das gleiche Ergebnis liefert wink

 01.04.2021
 #6
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surprise Es sollte natürlich \(F(t)=\cdots\)  heißen.

Jaja... die Macht der Gewohntheit... blush

 01.04.2021

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