+0  
 
0
37
1
avatar

Die Mantelfläche eines Drehkegels beträgt 650 cm². Der Radius r verhält sich zur Länge der Mantellinie (Mantelstrecke) s wie 5 : 8. Berechne die Oberfläche und das Volumen des Kegels.

 09.06.2020

Beste Antwort 

 #1
avatar+399 
+1

Zunächst sammeln wir alle Formeln ein, die für die Aufgabe nötig sind, also Mantelfläche, Oberfläche & Volumen:

\(M = \pi \cdot r \cdot s \\ O = r^2 \pi + M \\ V = \frac{1}{3} \cdot G h = \frac{1}{3} \cdot r^2 \pi \cdot h\)

 

Wir wissen außerdem, dass \(\frac{r}{s} = \frac{5}{8} \rightarrow r = \frac{5}{8} \cdot s\)

Diese Info können wir in die Gleichung für die Mantelfläche einsetzen:

 

\(M = \pi \cdot \frac{5}{8}s \cdot s \\ 650cm^2 = \frac{5 \pi} {8} s^2 \ \ |:( \frac{5 \pi} {8}) \\ 331,04cm^2 = s^2 \ \ | \sqrt. \\ 18,2cm = s\)

 

Damit folgt außerdem gleich der Radius, nämlich 18,2* 5/8 = 11,4.

Mit dem Satz des Pythagoras kann nun die Höhe h des Kegels berechnet werden: h steht senkrecht auf dem Radius r und bildet zusammen mit der Mantellinie s (Hypothenuse!) ein rechtwinkliges Dreieck, es ist h² + r² = s² .

\(h^2 + r^2 = s^2 \\ h^2 = s^2 - r^2 \\ h = \sqrt {s^2-r^2} = \sqrt{(18,2cm)^2 - (11,4cm)^2} = 14,2cm\)

 

Damit sind alle Größen bekannt, die für die Volumen- und Oberflächenformel nötig sind. Einsetzen liefert die gewünschten Ergebnisse:

\(O = r^2 \pi + M \\ O = (11,4cm)^2 \pi + 650cm^2 \\ O = 408,2cm^2 + 650cm^2 \\ O = 1058,2cm^2 \\ und\\ V = \frac{1}{3}r^2 \pi \cdot h \\ V = \frac{1}{3} \cdot (11,4cm)^2 \cdot \pi \cdot 14,2cm \\ V = 1932,5cm^3 \approx 1,9dm^3\)

.
 09.06.2020
 #1
avatar+399 
+1
Beste Antwort

Zunächst sammeln wir alle Formeln ein, die für die Aufgabe nötig sind, also Mantelfläche, Oberfläche & Volumen:

\(M = \pi \cdot r \cdot s \\ O = r^2 \pi + M \\ V = \frac{1}{3} \cdot G h = \frac{1}{3} \cdot r^2 \pi \cdot h\)

 

Wir wissen außerdem, dass \(\frac{r}{s} = \frac{5}{8} \rightarrow r = \frac{5}{8} \cdot s\)

Diese Info können wir in die Gleichung für die Mantelfläche einsetzen:

 

\(M = \pi \cdot \frac{5}{8}s \cdot s \\ 650cm^2 = \frac{5 \pi} {8} s^2 \ \ |:( \frac{5 \pi} {8}) \\ 331,04cm^2 = s^2 \ \ | \sqrt. \\ 18,2cm = s\)

 

Damit folgt außerdem gleich der Radius, nämlich 18,2* 5/8 = 11,4.

Mit dem Satz des Pythagoras kann nun die Höhe h des Kegels berechnet werden: h steht senkrecht auf dem Radius r und bildet zusammen mit der Mantellinie s (Hypothenuse!) ein rechtwinkliges Dreieck, es ist h² + r² = s² .

\(h^2 + r^2 = s^2 \\ h^2 = s^2 - r^2 \\ h = \sqrt {s^2-r^2} = \sqrt{(18,2cm)^2 - (11,4cm)^2} = 14,2cm\)

 

Damit sind alle Größen bekannt, die für die Volumen- und Oberflächenformel nötig sind. Einsetzen liefert die gewünschten Ergebnisse:

\(O = r^2 \pi + M \\ O = (11,4cm)^2 \pi + 650cm^2 \\ O = 408,2cm^2 + 650cm^2 \\ O = 1058,2cm^2 \\ und\\ V = \frac{1}{3}r^2 \pi \cdot h \\ V = \frac{1}{3} \cdot (11,4cm)^2 \cdot \pi \cdot 14,2cm \\ V = 1932,5cm^3 \approx 1,9dm^3\)

Probolobo 09.06.2020

25 Benutzer online

avatar
avatar
avatar