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Ich komme bei deiser Aufgabe einfach nicht weiter

 

Die Oberfläche eines Drehkegels beträgt 2.500 dm². Der Radius des Basiskreisels verhält sich zur Länge der Mantellinie (Mantelstrecke) s wie 8 : 15. Berechne a) den Radius b) die Länge Mantellinie c) die höhe d) das Volumen des Kegels 

 09.06.2020

Beste Antwort 

 #2
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+2

Zunächst halten wir fest: \(\frac{r}{s} = \frac{8}{15} \rightarrow s = \frac{15}{8} r\)

 

Die einzige bekannte Größe ist der Oberflächeninhalt. Damit folgt folgendes:

\(O = r^2 \pi + M \\ O = r^2 \pi + \pi \cdot r \cdot s \\ O = r^2 \pi + \pi \cdot r \cdot \frac{15}{8} r \ \ |einsetzen \ und \ ausklammern \\ 2500dm^2 = r^2 \cdot (\pi + \pi \cdot \frac{15}{8}) \ \ |:(\pi + \pi \cdot \frac{15}{8}) \\ \frac{2500dm^2}{\pi + \pi \cdot \frac{15}{8}} = r^2 \\ 276,8dm^2 = r^2 \ \ | \sqrt. \\ 16,6dm = r\)

 

Damit folgt auch direkt die Länge der Mantellinie:

\(s = \frac{15}{8} \cdot r = \frac{15}{8} \cdot 16,6dm = 31,1dm\)

 

Als nächstes können wir die Höhe berechnen. Dafür nutzen wir, dass die Höhe h senkrecht auf dem Radius r steht - die beiden bilden mit der Mantellinie s ein rechtwinkliges Dreieck, die Hypothenuse ist die Mantellinie. Mit dem Satz des Pythagoras folgt:

\(s^2 = h^2 + r^2 \ \ | -r^2 \\ s^2 - r^2 = h^2 \ \ | \sqrt. \\ \sqrt{s^2-r^2} = h \\ h = \sqrt{(31,1dm)^2 - (16,6dm)^2 } = 26,3dm\)

 

Damit sind alle Größen bekannt, die für die Berechnung des Volumens nötig sind (nämlich r und h):

\(V = \frac{1}{3} \cdot r^2 \pi \cdot h \\ V = \frac{1}{3} \cdot (16,6dm)^2 \pi \cdot 26,3dm \\ V = 7589,3dm^2 \approx 7,6m^3\)

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 09.06.2020
 #1
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+1

Die Oberfläche eines Drehkegels beträgt 2.500 dm². Der Radius des Basiskreisels verhält sich zur Länge der Mantellinie (Mantelstrecke) s wie 8 : 15. Berechne a) den Radius b) die Länge Mantellinie c) die höhe d) das Volumen des Kegels 

laugh

 09.06.2020
bearbeitet von Omi67  09.06.2020
 #3
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+1

Ups, hatte während dem Verfassen meiner Antwort nicht gesehen, dass schon eine da ist.

 

Beim Volumen hast du einen kleinen Fehler drin - dir fehlt der Faktor 1/3 (ist ja kein Zylinder) & hast vermutlich das " ² " beim Radius vergessen mit einzutippen ;)

Probolobo  09.06.2020
 #2
avatar+399 
+2
Beste Antwort

Zunächst halten wir fest: \(\frac{r}{s} = \frac{8}{15} \rightarrow s = \frac{15}{8} r\)

 

Die einzige bekannte Größe ist der Oberflächeninhalt. Damit folgt folgendes:

\(O = r^2 \pi + M \\ O = r^2 \pi + \pi \cdot r \cdot s \\ O = r^2 \pi + \pi \cdot r \cdot \frac{15}{8} r \ \ |einsetzen \ und \ ausklammern \\ 2500dm^2 = r^2 \cdot (\pi + \pi \cdot \frac{15}{8}) \ \ |:(\pi + \pi \cdot \frac{15}{8}) \\ \frac{2500dm^2}{\pi + \pi \cdot \frac{15}{8}} = r^2 \\ 276,8dm^2 = r^2 \ \ | \sqrt. \\ 16,6dm = r\)

 

Damit folgt auch direkt die Länge der Mantellinie:

\(s = \frac{15}{8} \cdot r = \frac{15}{8} \cdot 16,6dm = 31,1dm\)

 

Als nächstes können wir die Höhe berechnen. Dafür nutzen wir, dass die Höhe h senkrecht auf dem Radius r steht - die beiden bilden mit der Mantellinie s ein rechtwinkliges Dreieck, die Hypothenuse ist die Mantellinie. Mit dem Satz des Pythagoras folgt:

\(s^2 = h^2 + r^2 \ \ | -r^2 \\ s^2 - r^2 = h^2 \ \ | \sqrt. \\ \sqrt{s^2-r^2} = h \\ h = \sqrt{(31,1dm)^2 - (16,6dm)^2 } = 26,3dm\)

 

Damit sind alle Größen bekannt, die für die Berechnung des Volumens nötig sind (nämlich r und h):

\(V = \frac{1}{3} \cdot r^2 \pi \cdot h \\ V = \frac{1}{3} \cdot (16,6dm)^2 \pi \cdot 26,3dm \\ V = 7589,3dm^2 \approx 7,6m^3\)

Probolobo 09.06.2020
 #4
avatar+12269 
+1

Es ist immer gut, wenn zwei Leute antworten. Beim Volumen habe ich tatsächlich die 1/3 vergessen. Gut, dass du es gemerkt hast.

Ich habe es sofort korrigiert. sad

Du bist neu hier und machst das sehr gut. Solche Leute brauchen wir.

Omi67  09.06.2020
bearbeitet von Omi67  09.06.2020

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