Berechnung eines Drehkegels

Zunächst halten wir fest: $\frac{r}{s} = \frac{8}{15} \rightarrow s = \frac{15}{8} r$

Die einzige bekannte Größe ist der Oberflächeninhalt. Damit folgt folgendes:

$O = r^2 \pi + M \\ O = r^2 \pi + \pi \cdot r \cdot s \\ O = r^2 \pi + \pi \cdot r \cdot \frac{15}{8} r \ \ |einsetzen \ und \ ausklammern \\ 2500dm^2 = r^2 \cdot (\pi + \pi \cdot \frac{15}{8}) \ \ |:(\pi + \pi \cdot \frac{15}{8}) \\ \frac{2500dm^2}{\pi + \pi \cdot \frac{15}{8}} = r^2 \\ 276,8dm^2 = r^2 \ \ | \sqrt. \\ 16,6dm = r$

Damit folgt auch direkt die Länge der Mantellinie:

$s = \frac{15}{8} \cdot r = \frac{15}{8} \cdot 16,6dm = 31,1dm$

Als nächstes können wir die Höhe berechnen. Dafür nutzen wir, dass die Höhe h senkrecht auf dem Radius r steht - die beiden bilden mit der Mantellinie s ein rechtwinkliges Dreieck, die Hypothenuse ist die Mantellinie. Mit dem Satz des Pythagoras folgt:

$s^2 = h^2 + r^2 \ \ | -r^2 \\ s^2 - r^2 = h^2 \ \ | \sqrt. \\ \sqrt{s^2-r^2} = h \\ h = \sqrt{(31,1dm)^2 - (16,6dm)^2 } = 26,3dm$

Damit sind alle Größen bekannt, die für die Berechnung des Volumens nötig sind (nämlich r und h):

$V = \frac{1}{3} \cdot r^2 \pi \cdot h \\ V = \frac{1}{3} \cdot (16,6dm)^2 \pi \cdot 26,3dm \\ V = 7589,3dm^2 \approx 7,6m^3$

Die Oberfläche eines Drehkegels beträgt 2.500 dm². Der Radius des Basiskreisels verhält sich zur Länge der Mantellinie (Mantelstrecke) s wie 8 : 15. Berechne a) den Radius b) die Länge Mantellinie c) die höhe d) das Volumen des Kegels