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Gar nichts ich weiss es nämlich nicht😀😀😀😀

$$\sqrt{a}$$ liegt auf der Reellen Achse der "Gaußschen Zahlenebene"

$$\sqrt{-a}=\sqrt{a*(-1)}=\sqrt{a}*\sqrt{-1}=(\sqrt{a})*i$$ liegt auf der Imaginären Achse der "Gaußschen Zahlenebene"

S. aus H.

Hallo Dieter,

hier meine Lösung:

I. Allgemeine Lösung:

$$t^h=\frac{12}{11}(1+n) \quad n=0,1,2,...10$$

II. Spezielle Lösungen:

nach 1 Uhr: $$t=\frac{12}{11}*1=1.\overline{09} \Rightarrow t=1^h5^m27.\overline{27}^s$$

nach 2 Uhr: $$t=\frac{12}{11}*2=2.\overline{18} \Rightarrow t=2^h10^m54.\overline{54}^s$$

nach 3 Uhr: $$\boxed{t=\frac{12}{11}*3=3.\overline{27} \Rightarrow \textcolor[rgb]{1,0,0}{t=3^h16^m21.\overline{81}^s}}$$

S. aus H.

Okay ja gut so hab ich dass noch gar nicht betrachtet! Ich war die ganze Zeit auf diese kack- Kreuzprobe fixiert. Also - weil ja Realation bewiesen werden soll - dachte ich, ich soll nur die Elementenpaare, die möglich sind in aufzählender Form wiedergeben.

--> also aus AxB alle x²+y²=25 { (4/3), (-4/-3), (3/4), (-3/-4), (-4/3), (-3/4), (0/-5), (0/5), (-5/0), (5/0)}

Dass ist ja die Erfüllungsmenge von der Relation 1, oder?

--> ich musste halt viel aufschrieben, klar ist dass kein Problem, ich dachte nur es gibt da vielleicht ein Trick um schneller an das Ergebnis zu kommen.

- Lieben Dank dass du Dir Zeit genohmen hast :)

Hallo,

hier die Herleitung von "Radius des Inkreises des Dreiecks":

1.) Die Flächenberechnung über die 3 Dreiecke mit r jeweils als Dreieckshöhen:

$$2A = a*r + b*r + c*r = r(a+b)+rc$$

$$\Rightarrow (2A-rc)^2=r^2(a+b)^2$$

2.) Pythagoras:

$$c^2=a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$$

da $$2A=ab$$   (Fläche im rechtwinkligen Dreieck)

$$\Rightarrow c^2=(a+b)^2-4A$$

$$\Rightarrow (a+b)^2=c^2+4A$$

3.)  $$(a+b)^2$$ oben ersetzt:

$$(2A-rc)^2=r^2(c^2+4A)$$

$$\Rightarrow 4A^2-4A*rc+\textcolor[rgb]{1,0,0}{r^2c^2}=\textcolor[rgb]{1,0,0}{r^2c^2}+4Ar^2$$     |    $$r^2c^2$$   kürzt sich raus

$$\Rightarrow 4A^2-4A*rc=4Ar^2$$   |  $$:4A$$
$$A-rc=r^2$$

$$\boxed{A=r(r+c)}$$

Im übrigen folgt daraus, das s=r+c ist, wenn s=(a+b+c)/2 ist ( A=r*s <=> A=r(r+c) )

und somit A=s(s-c) und A=(s-a)*(s-b). Alles im rechtwinkligen Dreieck.

S. aus H.

Das ist auch die Lösung, die ich kenne. Ich plane demnächst wieder ein Dreiecksrätsel reinzustellen. Ich hoffe ich erhalte dann wieder eine Antwort von dir.

6x+(3-x)*2+11 = 27
6x+6-2x+11     = 27
4x+17              = 27   |-17
4x                    = 10   |/4
x                      = 2,5

Radix hat hierbei einen kleinen Fehler gemacht. Er hat (3-x)^2 statt (3-x)*2 gerechnet.

(3x)^(-2) fehlt noch.
(3x)^(-2) = 1/((3x)^2) = 1/9x²

Hallo Dieter,

hier die Formel zu Uhrzeit und Winkel:

Geg.: Die Uhrzeit $$t$$ in Stunden 

Ges.: Der Winkel $$\alpha$$ in Altgrad  ( Winkel zwischen Stunden- und dem Minutenzeiger vom Minutenzeiger ausgehend )

$$\alpha\ensuremath{^\circ}=(360\ensuremath{^\circ}*\frac{11}{12}*t)\bmod 360\ensuremath{^\circ}$$

Die Modulo-Funkton kann man auch auflösen. $$a\bmod b = a-b*\lfloor\frac{a}{b}\rfloor$$

$$\Rightarrow \alpha\ensuremath{^\circ}=360\ensuremath{^\circ}(\frac{11}{12}t - \lfloor\frac{11}{12}t\rfloor)$$

$$\frac{11}{12}t - \lfloor\frac{11}{12}t\rfloor$$ beschreibt die Nachkommenstellen von $$\frac{11}{12}t$$ . Die Funktion bezeichne ich kurz mit $$frac$$

$$\Rightarrow \boxed{\alpha\ensuremath{^\circ}=360\ensuremath{^\circ}*frac(\frac{11}{12}t)}$$   "frac-Funktion": Nehme nur die Nachkommastellen der Gleitzahl!

Ergebnisse:

Zu a) Aus 2:38 Uhr  $$t=2,6\bar3$$ :

$$\Rightarrow \alpha\ensuremath{^\circ}=360\ensuremath{^\circ}*frac(\frac{11}{12}*2,6\bar3)$$

$$\Rightarrow \alpha\ensuremath{^\circ}=360\ensuremath{^\circ}*frac(2,4138\cdots)$$    frac(2,4138...) = 0,4138... ( Nehme nur die Nachkommastellen!)

$$\Rightarrow \alpha\ensuremath{^\circ}=360\ensuremath{^\circ}*(0,4138\cdots)=149\ensuremath{^\circ}$$

Zu b) Aus 9:50 Uhr $$t=9,8\bar3$$

$$\Rightarrow \alpha\ensuremath{^\circ}=360\ensuremath{^\circ}*frac(\frac{11}{12}*9,8\bar3)$$

$$\Rightarrow \alpha\ensuremath{^\circ}=360\ensuremath{^\circ}*frac(9,0138\cdots)$$    frac(9,0138...) = 0,0138... ( Nehme nur die Nachkommastellen!)

$$\Rightarrow \alpha\ensuremath{^\circ}=360\ensuremath{^\circ}*(0.0138\cdots)=5\ensuremath{^\circ}$$

Zu c) Aus 11:05 Uhr $$t=11,08\bar3$$

$$\Rightarrow \alpha\ensuremath{^\circ}=360\ensuremath{^\circ}*frac(\frac{11}{12}*11,08\bar3)$$

$$\Rightarrow \alpha\ensuremath{^\circ}=360\ensuremath{^\circ}*frac(10,15972\cdots)$$    frac(10,15972...) = 0,15972... ( Nehme nur die Nachkommastellen!)

$$\Rightarrow \alpha\ensuremath{^\circ}=360\ensuremath{^\circ}*(0,15972\cdots)=57,5\ensuremath{^\circ}$$

Zu d) Aus 5:12 Uhr $$t=5,2$$

$$\Rightarrow \alpha\ensuremath{^\circ}=360\ensuremath{^\circ}*frac(\frac{11}{12}*5,2)$$

$$\Rightarrow \alpha\ensuremath{^\circ}=360\ensuremath{^\circ}*frac(4,7\bar6)$$    frac(4,76...) = 0,76... ( Nehme nur die Nachkommastellen!)

$$\Rightarrow \alpha\ensuremath{^\circ}=360\ensuremath{^\circ}*(0,7\bar6\cdots)=276\ensuremath{^\circ}$$

Viele Grüße

S. aus H.

$$\frac{31km}{17\textcolor[rgb]{1,0,0}{\not} M\textcolor[rgb]{1,0,0}{\not} i\textcolor[rgb]{1,0,0}{\not} n}*\frac{60\textcolor[rgb]{1,0,0}{\not} M\textcolor[rgb]{1,0,0}{\not} i\textcolor[rgb]{1,0,0}{\not} n}{1h}=\frac{31*60}{17}\frac{km}{h} = 109,41\frac{km}{h}$$

60 Minuten entsprechen 1 Stunde.

S. aus H.

Könnte es sein, dass einfach die Erstellung einer Wertetabelle gemeint ist ?

y =sqrt ( 25 - x²)

x-Wert        -5        -4        -3        - 2                   -1          0       usw.

y-Wert      +- 5     +-3       +-4     +-sqrt(21)      ...........     ......

Kannst ja mal antworten! 

Hallo "s. aus H.",

mir bereitet es immer wieder große Freude, nachzuvollziehen, wie DU an ein mathematisches Problem (und sei es noch so einfach in der Fragestellung ) herangehst. Du steckst voller Überraschungen ! Danke.

Ein freundlicher Gruß von Dieter ("radix") 

$${\sqrt{{\frac{{\mathtt{1}}}{{\mathtt{2}}}}}} = {\mathtt{0.707\: \!106\: \!781\: \!186\: \!547\: \!5}}$$

$${\mathtt{\,-\,}}{\sqrt{{\frac{{\mathtt{1}}}{{\mathtt{2}}}}}} = -{\mathtt{0.707\: \!106\: \!781\: \!186\: \!547\: \!5}}$$

Ich denke, du sagst einfach: das eine Ergebnis ist positiv, das andere ist negativ.

Oder meintest du das Ergebnis aus dem neg. Radikanten  -1/2  ?? dann ist das Ergebnis eine imaginäre Zahl (achte auf das   " i " ):

$${\sqrt{{\mathtt{\,-\,}}{\frac{{\mathtt{1}}}{{\mathtt{2}}}}}} = {\mathtt{0.707\: \!106\: \!781\: \!186\: \!547\: \!5}}{i}$$    ACHTE auf das  i  !

Gruß "radix" 

Noch einmal "radix".

Entschuldige meinen Tippfehler in der 1. Antwort: "Winlen   =   Winkeln ".

Dafür bekommst du auch einen praktischen Onlinerechner für Dreiecke und mehr zum Überprüfen deiner Ergebnisse!

rechneronline.de/pi/dreieck.php

Wenn er dir gefällt (der Rechner!!) würde ich mich über ein "Danke" freuen.

Gruß "radix" 

21 * 1/2 = 21 * 0,5 = 10,5

$${\frac{{\mathtt{21}}{\mathtt{\,\times\,}}{\mathtt{1}}}{{\mathtt{2}}}} = {\frac{{\mathtt{21}}}{{\mathtt{2}}}} = {\mathtt{10.5}}$$

Gruß "radix"  

 Dazu benötigst du den Kosinussatz:

a² = b² + c² -2bc *cos alpha        b² = a²+c² - 2ac *cos beta      c² = a² + b² -2ab*cos gamma

Umgestellt nach den Winlen:

2bc*cos alpha = b²+c²-a²      cos alpha  = (b²+c²-a²)/ (2bc)

cos beta = (a²+c²-b²) / (2ac)        cos gamma = (a²+b²-c²) / (2ab)

Dann erhälst du für die Winkel:  alpha = 67,668°     beta = 22,361°      gamma = 89,971°

Soltest du noch Fragen haben, melde dich bitte.

Gruß "radix" 

$$\frac{11}{12}t - \lfloor\frac{11}{12}t\rfloor$$ Hallo Dieter,

vielen Dank.

I. "Radius des Inkreises des Dreiecks"

Ich finde deine Lösung zu "leaced" "Radius des Inkreises des Dreiecks" sehr elegant!

Ich habe hierzu eine rein schulische Lösung gefunden:

1.) Die Flächenberechnung über die 3 Dreiecke mit r jeweils als Dreieckshöhen:

$$2A = a*r + b*r + c*r = r(a+b)+rc$$

$$\Rightarrow (2A-rc)^2=r^2(a+b)^2$$

2.) Pythagoras:

$$c^2=a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$$

da $$2A=ab$$   (Fläche im rechtwinkligen Dreieck)

$$\Rightarrow c^2=(a+b)^2-4A$$

$$\Rightarrow (a+b)^2=c^2+4A$$

3) oben $$(a+b)^2$$ ersetzt:

$$(2A-rc)^2=r^2(c^2+4A)$$

$$\Rightarrow 4A^2-4A*rc+r^2c^2=r^2c^2+4Ar^2$$     |    $$r^2c^2$$   kürzt sich raus

$$\Rightarrow 4A^2-4A*rc=4Ar^2$$   |  $$:4A$$
$$A-rc=r^2$$

$$A=r^2+rc$$

$$\boxed{A=r(r+c)}$$

Im übrigen folgt daraus, das s=r+c ist, wenn s=(a+b+c)/2 sind ( A=r*s <=> A=r(r+c) )

und somit A=s(s-c) und A=(s-a)*(s-b). Alles im rechtwinkligen Dreieck.

II. Uhrzeit und Winkel

Geg.: Die Uhrzeit $$t$$ in Stunden 

Ges.: Der Winkel $$\alpha$$ in Altgrad  ( Winkel zwischen Stunden- und dem Minutenzeiger )

$$\alpha\ensuremath{^\circ}=360\ensuremath{^\circ}*\frac{11}{12}*t\bmod 360\ensuremath{^\circ}$$

Die Modulo-Funkton kann man auch auflösen

$$\Rightarrow \alpha\ensuremath{^\circ}=360\ensuremath{^\circ}(\frac{11}{12}t - \lfloor\frac{11}{12}t\rfloor)$$

$$\frac{11}{12}t - \lfloor\frac{11}{12}t\rfloor$$ beschreibt die Nachkommenstellen von $$\frac{11}{12}t$$ . Die Funktion bezeichne ich kurz mit $$frac$$

$$\Rightarrow \boxed{\alpha\ensuremath{^\circ}=360\ensuremath{^\circ}*(frac(\frac{11}{12}t))}$$   "frac-Funktion": Nehme nur die Nachkommastellen der Gleitzahl!

Ergebnisse:

Zu a) Aus 2:38 Uhr  $$t=2,6\bar3$$ :

$$\Rightarrow \alpha\ensuremath{^\circ}=360\ensuremath{^\circ}*(frac(\frac{11}{12}*2,6\bar3))$$

$$\Rightarrow \alpha\ensuremath{^\circ}=360\ensuremath{^\circ}*(frac(2,4138\cdots))$$    frac(2,4138) = 0,4138 ( Nehme nur die Nachkommastellen!)

$$\Rightarrow \alpha\ensuremath{^\circ}=360\ensuremath{^\circ}*(0,4138\cdots)=149\ensuremath{^\circ}$$

Zu b) Aus 9:50 Uhr $$t=9,8\bar3$$

$$\Rightarrow \alpha\ensuremath{^\circ}=360\ensuremath{^\circ}*(frac(\frac{11}{12}*9,8\bar3))$$

$$\Rightarrow \alpha\ensuremath{^\circ}=360\ensuremath{^\circ}*(frac(9,0138\cdots))$$    frac(9,0138) = 0,0138 ( Nehme nur die Nachkommastellen!)

$$\Rightarrow \alpha\ensuremath{^\circ}=360\ensuremath{^\circ}*(0.0138\cdots)=5\ensuremath{^\circ}$$

Zu c) Aus 11:05 Uhr $$t=11,08\bar3$$

$$\Rightarrow \alpha\ensuremath{^\circ}=360\ensuremath{^\circ}*(frac(\frac{11}{12}*11,08\bar3))$$

$$\Rightarrow \alpha\ensuremath{^\circ}=360\ensuremath{^\circ}*(frac(10,15972\cdots))$$    frac(10,15972) = 0,15972 ( Nehme nur die Nachkommastellen!)

$$\Rightarrow \alpha\ensuremath{^\circ}=360\ensuremath{^\circ}*(0,15972\cdots)=57,5\ensuremath{^\circ}$$

Zu d) Aus 5:12 Uhr $$t=5,2$$

$$\Rightarrow \alpha\ensuremath{^\circ}=360\ensuremath{^\circ}*(frac(\frac{11}{12}*5,2))$$

$$\Rightarrow \alpha\ensuremath{^\circ}=360\ensuremath{^\circ}*(frac(4,7\bar6))$$    frac(4,76...) = 0,76... ( Nehme nur die Nachkommastellen!)

$$\Rightarrow \alpha\ensuremath{^\circ}=360\ensuremath{^\circ}*(0,7\bar6\cdots)=276\ensuremath{^\circ}$$

Viele Grüße

S. aus H.

Gesucht Durchschnittsgeschwindigkeit. Geschwindigkeiten werden z.B. in Einheit km/h ausgedrückt, also km pro Stunde.

31km in 17Minunten, also wie viele km pro 60Minuten (1Stunde)? 

(60Minuten / 17Minuten) * 31km = 109.4117647058823529km

Also ca. 109km/h Durchschnittsgeschwindigkeit.

Probe:
109km/60Minuten * 17Minuten = ca. 31km

2+(t+1)=6-(t+2)
Klammern berücksichten und ausrechnen
2+t+1=6-t-2
Umsortieren. Zahlen zusammenfassen
2+1+t=6-2-t
Zahlen ausrechnen
3+t=4-t
+t auf beiden Seiten
3+t+t=4-t+t
3+t+t=4
3+2t=4
-3 auf beiden Seiten
2t=4-3
2t=1
/2 auf beiden Seiten
t=1/2

Probe:
$${\mathtt{2}}{\mathtt{\,\small\textbf+\,}}\left({\mathtt{t}}{\mathtt{\,\small\textbf+\,}}{\mathtt{1}}\right) = {\mathtt{6}}{\mathtt{\,-\,}}\left({\mathtt{t}}{\mathtt{\,\small\textbf+\,}}{\mathtt{2}}\right) \Rightarrow {\mathtt{t}} = {\frac{{\mathtt{1}}}{{\mathtt{2}}}} \Rightarrow {\mathtt{t}} = {\mathtt{0.5}}$$

Hallo "Leaced",

in der Aufgabenstellung sollten die Zinsen jedes Jahr abgehoben werden (bitte nachlesen).

Damit entfallen die Zinseszinsen und so war es auch gemeint .

Trotzdem danke ich dir für den Hinweis und deine Formel zur Berechnung der Zinseszinsen.

Gruß Dieter ("radix" ) 

Hier die Lösung der Gleichung

6x + (3-x)² + 11 = 27             Klammer mit 2. Binom aflösen

6x + 9 -6x + x² + 11 =  27             Zusammenfassen und ordnen

                x² + 20    = 27

                          x²  = 7             x1 = + sqrt(7)         x2 = - sqrt(7)

$${{\mathtt{x}}}^{{\mathtt{2}}} = {\mathtt{7}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\mathtt{x}} = {\mathtt{\,-\,}}{\sqrt{{\mathtt{7}}}}\\ {\mathtt{x}} = {\sqrt{{\mathtt{7}}}}\\ \end{array} \right\} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\mathtt{x}} = -{\mathtt{2.645\: \!751\: \!311\: \!064\: \!590\: \!6}}\\ {\mathtt{x}} = {\mathtt{2.645\: \!751\: \!311\: \!064\: \!590\: \!6}}\\ \end{array} \right\}$$

Ich hoffe, dir geholfen zu haben!   

Gruß "radix"  $$\mathrm{\ }$$

$${\mathtt{6}}{\mathtt{\,\times\,}}{\mathtt{x}}{\mathtt{\,\small\textbf+\,}}{\left({\mathtt{3}}{\mathtt{\,-\,}}{\mathtt{x}}\right)}^{{\mathtt{2}}}{\mathtt{\,\small\textbf+\,}}{\mathtt{11}} = {\mathtt{27}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\mathtt{x}} = {\mathtt{\,-\,}}{\sqrt{{\mathtt{7}}}}\\ {\mathtt{x}} = {\sqrt{{\mathtt{7}}}}\\ \end{array} \right\} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\mathtt{x}} = -{\mathtt{2.645\: \!751\: \!311\: \!064\: \!590\: \!6}}\\ {\mathtt{x}} = {\mathtt{2.645\: \!751\: \!311\: \!064\: \!590\: \!6}}\\ \end{array} \right\}$$

Hier nun einige "Variationen", da deine Frage nicht ganz eindeutig ist:

$${\mathtt{3}}{\mathtt{\,\times\,}}{{\mathtt{10}}}^{-{\mathtt{2}}} = {\frac{{\mathtt{3}}}{{\mathtt{100}}}} = {\mathtt{0.03}}$$

$${{\mathtt{3}}}^{-{\mathtt{2}}} = {\frac{{\mathtt{1}}}{{\mathtt{9}}}} = {\mathtt{0.111\: \!111\: \!111\: \!111\: \!111\: \!1}}$$

$${\mathtt{3}}{\mathtt{\,\times\,}}{{\mathtt{x}}}^{-{\mathtt{2}}} = {\mathtt{3}}{\mathtt{\,\times\,}}{{\left(\underset{{\tiny{\text{Error: Unbekannte Variable}}}}{{\mathtt{x}}}\right)}}^{-{\mathtt{2}}}$$       für x= 2 ergibt sich   3 / 4 = 0,75

3 * x^-2 = 3 / x²

3x^-2 = 3 / x²

3 ^(x-2) = 3 hoch (x-2)     hier werden x-Werte benötigt, z.B.   x=5        3^(5-2) = 3^3 =27

Such dir bitte das Passende aus.

Gruß "radix" 

Guten Morgen "Leaced",

hier nun mein "Beweis" bzw. die Ableitung der Formel   A = r*(r+c)

Wenn ich in das Dreieck den Inkreis mit den 3 Radien zeichne, stehen die Radien senkrecht auf den Seiten und die Seite  c  wird in 2 Abschnitte ( x  und  c-x ) unterteilt.

Es entstehen  3 Flächen, ein Quadrat  ( A1 = r² ) und zwei Drachenvierecke ( A2 = x*r und  A3 = r*(c-x)  ).

Die Summe dieser drei Flächen ist die Dreiecksfläche:

A = r² + r*x + r*(c-x)  =  r² + r*x + r*c - r*x = r² + r*c =  r * ( r + c )  

Nun bin ich auf deinen Beweis gespannt !

Gruß "radix"  

Hallo

Hier die Lösung:

$$\frac{46,66\textcolor[rgb]{1,0,0}{\b{\not}}B}{1kg}*\frac{1\$}{49,99\textcolor[rgb]{1,0,0}{\b{\not}}B}=0,933386677\cdots\frac{\$}{kg}$$

Der Kaffee kostet pro kg $$0,933386677\cdots\text{\$}$$

Viele Grüße

S. aus H.

Hallo!

e^1 = e       Eulersche Zahl    e = 2,71828......

$${{\mathtt{e}}}^{{\mathtt{1}}} = {\mathtt{2.718\: \!281\: \!828\: \!459\: \!045\: \!2}}$$

$${\mathtt{e}} = {\mathtt{2.718\: \!281\: \!828\: \!459\: \!045\: \!2}}$$

Gruß "radix"