Radius des Inkreises des Dreiecks

Das ist auch die Lösung, die ich kenne. Ich plane demnächst wieder ein Dreiecksrätsel reinzustellen. Ich hoffe ich erhalte dann wieder eine Antwort von dir.

Guten Morgen "Leaced",

hier nun mein "Beweis" bzw. die Ableitung der Formel   A = r*(r+c)

Wenn ich in das Dreieck den Inkreis mit den 3 Radien zeichne, stehen die Radien senkrecht auf den Seiten und die Seite  c  wird in 2 Abschnitte ( x  und  c-x ) unterteilt.

Es entstehen  3 Flächen, ein Quadrat  ( A1 = r² ) und zwei Drachenvierecke ( A2 = x*r und  A3 = r*(c-x)  ).

Die Summe dieser drei Flächen ist die Dreiecksfläche:

A = r² + r*x + r*(c-x)  =  r² + r*x + r*c - r*x = r² + r*c =  r * ( r + c )  

Nun bin ich auf deinen Beweis gespannt !

Gruß "radix"  

Hallo,

hier die Herleitung von "Radius des Inkreises des Dreiecks":

1.) Die Flächenberechnung über die 3 Dreiecke mit r jeweils als Dreieckshöhen:

$$2A = a*r + b*r + c*r = r(a+b)+rc$$

$$\Rightarrow (2A-rc)^2=r^2(a+b)^2$$

2.) Pythagoras:

$$c^2=a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$$

da $$2A=ab$$   (Fläche im rechtwinkligen Dreieck)

$$\Rightarrow c^2=(a+b)^2-4A$$

$$\Rightarrow (a+b)^2=c^2+4A$$

3.)  $$(a+b)^2$$ oben ersetzt:

$$(2A-rc)^2=r^2(c^2+4A)$$

$$\Rightarrow 4A^2-4A*rc+\textcolor[rgb]{1,0,0}{r^2c^2}=\textcolor[rgb]{1,0,0}{r^2c^2}+4Ar^2$$     |    $$r^2c^2$$   kürzt sich raus

$$\Rightarrow 4A^2-4A*rc=4Ar^2$$   |  $$:4A$$
$$A-rc=r^2$$

$$\boxed{A=r(r+c)}$$

Im übrigen folgt daraus, das s=r+c ist, wenn s=(a+b+c)/2 ist ( A=r*s <=> A=r(r+c) )

und somit A=s(s-c) und A=(s-a)*(s-b). Alles im rechtwinkligen Dreieck.

S. aus H.