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$$\frac{11}{12}t - \lfloor\frac{11}{12}t\rfloor$$Hallo Dieter,
vielen Dank.
I. "Radius des Inkreises des Dreiecks"
Ich finde deine Lösung zu "leaced" "Radius des Inkreises des Dreiecks" sehr elegant!
Ich habe hierzu eine rein schulische Lösung gefunden:
1.) Die Flächenberechnung über die 3 Dreiecke mit r jeweils als Dreieckshöhen:
$$2A = a*r + b*r + c*r = r(a+b)+rc$$
$$\Rightarrow (2A-rc)^2=r^2(a+b)^2$$
2.) Pythagoras:
$$c^2=a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$$
da $$2A=ab$$ (Fläche im rechtwinkligen Dreieck)
$$\Rightarrow c^2=(a+b)^2-4A$$
$$\Rightarrow (a+b)^2=c^2+4A$$
3) oben $$(a+b)^2$$ersetzt:
$$(2A-rc)^2=r^2(c^2+4A)$$
$$\Rightarrow 4A^2-4A*rc+r^2c^2=r^2c^2+4Ar^2$$ | $$r^2c^2$$ kürzt sich raus
$$\Rightarrow 4A^2-4A*rc=4Ar^2$$ | $$:4A$$
$$A-rc=r^2$$
$$A=r^2+rc$$
$$\boxed{A=r(r+c)}$$
Im übrigen folgt daraus, das s=r+c ist, wenn s=(a+b+c)/2 sind ( A=r*s <=> A=r(r+c) )
und somit A=s(s-c) und A=(s-a)*(s-b). Alles im rechtwinkligen Dreieck.
II. Uhrzeit und Winkel
Geg.: Die Uhrzeit $$t$$ in Stunden
Ges.: Der Winkel $$\alpha$$ in Altgrad ( Winkel zwischen Stunden- und dem Minutenzeiger )
$$\alpha\ensuremath{^\circ}=360\ensuremath{^\circ}*\frac{11}{12}*t\bmod 360\ensuremath{^\circ}$$
Die Modulo-Funkton kann man auch auflösen
$$\Rightarrow \alpha\ensuremath{^\circ}=360\ensuremath{^\circ}(\frac{11}{12}t - \lfloor\frac{11}{12}t\rfloor)$$
$$\frac{11}{12}t - \lfloor\frac{11}{12}t\rfloor$$ beschreibt die Nachkommenstellen von $$\frac{11}{12}t$$. Die Funktion bezeichne ich kurz mit $$frac$$
$$\Rightarrow \boxed{\alpha\ensuremath{^\circ}=360\ensuremath{^\circ}*(frac(\frac{11}{12}t))}$$ "frac-Funktion": Nehme nur die Nachkommastellen der Gleitzahl!
Ergebnisse:
Zu a) Aus 2:38 Uhr $$t=2,6\bar3$$:
$$\Rightarrow \alpha\ensuremath{^\circ}=360\ensuremath{^\circ}*(frac(\frac{11}{12}*2,6\bar3))$$
$$\Rightarrow \alpha\ensuremath{^\circ}=360\ensuremath{^\circ}*(frac(2,4138\cdots))$$ frac(2,4138) = 0,4138 ( Nehme nur die Nachkommastellen!)
$$\Rightarrow \alpha\ensuremath{^\circ}=360\ensuremath{^\circ}*(0,4138\cdots)=149\ensuremath{^\circ}$$
Zu b) Aus 9:50 Uhr $$t=9,8\bar3$$
$$\Rightarrow \alpha\ensuremath{^\circ}=360\ensuremath{^\circ}*(frac(\frac{11}{12}*9,8\bar3))$$
$$\Rightarrow \alpha\ensuremath{^\circ}=360\ensuremath{^\circ}*(frac(9,0138\cdots))$$ frac(9,0138) = 0,0138 ( Nehme nur die Nachkommastellen!)
$$\Rightarrow \alpha\ensuremath{^\circ}=360\ensuremath{^\circ}*(0.0138\cdots)=5\ensuremath{^\circ}$$
Zu c) Aus 11:05 Uhr $$t=11,08\bar3$$
$$\Rightarrow \alpha\ensuremath{^\circ}=360\ensuremath{^\circ}*(frac(\frac{11}{12}*11,08\bar3))$$
$$\Rightarrow \alpha\ensuremath{^\circ}=360\ensuremath{^\circ}*(frac(10,15972\cdots))$$ frac(10,15972) = 0,15972 ( Nehme nur die Nachkommastellen!)
$$\Rightarrow \alpha\ensuremath{^\circ}=360\ensuremath{^\circ}*(0,15972\cdots)=57,5\ensuremath{^\circ}$$
Zu d) Aus 5:12 Uhr $$t=5,2$$
$$\Rightarrow \alpha\ensuremath{^\circ}=360\ensuremath{^\circ}*(frac(\frac{11}{12}*5,2))$$
$$\Rightarrow \alpha\ensuremath{^\circ}=360\ensuremath{^\circ}*(frac(4,7\bar6))$$ frac(4,76...) = 0,76... ( Nehme nur die Nachkommastellen!)
$$\Rightarrow \alpha\ensuremath{^\circ}=360\ensuremath{^\circ}*(0,7\bar6\cdots)=276\ensuremath{^\circ}$$
Viele Grüße
S. aus H.
