Primzahlquadrate

Wir wählen zwei beliebige Primzahlen $p>q>3$.

Man beweise, dass $p^2-q^2$ immer durch 24 teilbar ist.

1. Primfaktorzerlegung von 24: 

$24 = 2^3\cdot 3$

Die Primfaktoren 2 und 3 treten in p und q nicht auf, da wir $p>q>3$ definiert haben.

$p \ne 2 \text{ und } p \ne 3 \\ q \ne 2 \text{ und } q\ne 3$

Somit ist die 24 zu p und q teilerfremd!

$ggT(p,24) =ggT(q,24) = 1.$

$24 = 3\cdot 8$

Ich versuche jetzt zu zeigen, das $p^2-1$ bzw. $q^2-1$ durch 3 und durch 8 teilbar sind. Dann wäre auch $p^2-1$ bzw. $q^2-1$ durch 24 teilbar, da die 3 und die 8 teilerfremd sind.

2. Teilung durch 3:

Satz:  (Euler)

Sei $n$ ein Element der natürliche Zahlen.

Dann gilt für alle $a$ ein Element der natürliche Zahlen, die teilerfremd zu $n$ sind:

$a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod n.$

Wir setzen für $a = p$ resp.  $a= q$ und für $n$ die 3 ein und $\varphi(p) = p-1$ also $\varphi(3) = 2$:

$p^{\varphi(3)} \equiv 1 \pmod 3 \\ p^{2} \equiv 1 \pmod 3 \\ p^{2} -1 \equiv 0 \pmod 3.$

Somit ist $p^2-1$ bzw. $q^2-1$ immer durch 3 teilbar.

3. Teilung durch 8:

Alle Primzahlen > 3 sind endweder der Form $(4\cdot n+1)$  oder der Form $(4\cdot n+3)$.

$\begin{array}{cccc} \hline \text{ungerage Zahlen} & \text{gerage Zahlen} & \text{ungerage Zahlen} &\text{gerage Zahlen} \\ 4\cdot n + 1 & \text{nur die 2 ist Primzahl} & 4\cdot n + 3 & 4\cdot n \\ \hline 1 &2 &3 &4 \\ 5 &6 &7 &8 \\ 9 &10 &11 &12 \\ 13& 14 &15 &16 \\ 17& 18& 19 &20 \\ \cdots \\ \hline \end{array}$

1. Primzahl Form:

$\begin{array}{rcll} p^2 &=& (4n+1)^2 \\ p^2 &=& 16n^2+8n+1 \\ p^2-1 &=& 16n^2+8n \\ p^2-1 &=& 2\cdot 8n^2+8n \end{array}$

Wie man sieht ist $p^2-1$ durch 8 teilbar. Analog gilt das auch für $q^2-1$

2. Primzahl Form:

$\begin{array}{rcll} p^2 &=& (4n+3)^2 \\ p^2 &=& 16n^2+8n+8+1 \\ p^2-1 &=& 16n^2+8n+8 \\ p^2-1 &=& 2\cdot 8n^2+8n+8\\ \end{array}$

Wie man sieht ist $p^2-1$ durch 8 teilbar. Analog gilt das auch für $q^2-1$

Fassen wir zusammen:

$p^2-1 \equiv 0 \pmod {24}$ und  $q^2-1 \equiv 0 \pmod {24}$

oder umgestellt:

$p^2 \equiv 1 \pmod {24}$ und  $q^2 \equiv 1 \pmod {24}$

Man beweise, dass $p^2-q^2$ immer durch 24 teilbar ist.

$\begin{array}{rcll} \underbrace{p^2}_{=1\pmod{24 }}- \underbrace{q^2}_{=1\pmod{24 }} &\equiv& 0 \pmod {24} \\\\ 1-1 &\equiv& 0 \pmod {24}\\ 0 &\equiv& 0 \pmod {24} \end{array}$