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Wie viele Truhen können 18 Handwerker herstellen?

Die Handwerker stellen alle Truhen mit zugenommener Komplexität her.

Wie viele Truhen stellt ein Handwerker in einer Stunde her? Das ist die durchschnittliche Leistung P. 

Das sind 180 Truhen pro 15 x 8 Stunden von 12 Handwerkern.

"Pro" und "von" wird zu dividiert durch, bzw. die Werte stehen unter dem Bruchstrich.

Für die durch die vergrößerte Komplexität erhöhte Fertigungszeit kommt der Faktor $\frac{100}{125}$ hinzu.

$P=\dfrac{180\ TR}{12\ HW\cdot 15\cdot 8h}\cdot \dfrac{100}{125}\\ ausgerechnet\\ P=\dfrac{0,1\ TR}{HW\cdot h}$

Die durchschnittliche Leistung eines Handwerkrs P wird multipliziert mit der Anzahl der beschäftigten Handwerker (18 HW) und der Zahl der gegebenen Stunden (20 x 10h).

$W=P\cdot18\ HW\cdot20\cdot 10h\\ W=\dfrac{0,1\ TR}{HW\cdot h}\cdot 18\ HW\cdot 20\cdot 10h$

$\color{blue}W=360\ TR$

360 Truhen können 18 Handwerker herstellen, die 20 Tage lang jeweils 10 Stunden am Tag arbeiten, wobei davon ausgegangen wird, dass die Komplexität der Schnitzereien um 25 % zunimmt.

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Wie oft passt die 5,2 in die 13?

$13:5,2=2,5$

Die 5,2 passt zweimal in die 13.

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Hallo mellojello!

Beweise mit vollständiger Induktion:

Es gilt:    $\bigwedge _{n\in\mathbb N,n\ge 2}:\ \color{blue}n^2>n+1$

Induktionsanfang:

$n=2\\ linke Seite:2^2=4\\ rechte Seite:2+1=3\\ F\ddot ur\ n=2\ ist\ die\ linke\ Seite\ gr\ddot osser\ als\ die\ rechte\ Seite.\\ Die Aussage\ ist\ richtig.$

Die Induktionsannahme (IA) lautet:

$\bigwedge _{n\in\mathbb N,n\ge 2}:\ \color{blue}n^2>n+1$

Der Induktionsschluss von n nach n+1 ist:

$\bigwedge _{(n+1)\in\mathbb N,n\ge 2}:\ \color{blue}(n+1)^2>(n+1)+1$

linke Seite:

$(2+1)^2=\color{blue}9$

rechte Seite:

$(2+1)+1=\color{blue}4$

Für $\bigwedge _{(n+1)\in\mathbb N,n\ge 2}:\ \color{blue}(n+1)^2>(n+1)+1$ ist die linke Seite (9) grösser als die rechte Seite (4), q.e.d.

Die Induktionsannahme ist bewiesen.

Die Dichte des Holzes sei $\rho$. Dann gilt

$20^3cm^3\cdot \rho\cdot g=20^2\cdot 17cm^3\cdot \dfrac{1g}{cm^3}\cdot g\\ \rho =\dfrac{20^2\cdot 17g}{20^3cm^3}\\ \color{blue}\rho=0,85g/cm^3$

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Der Preis der Ware sei x. Dann gilt

$0,96x-0,95x=2,5\\ 0,01x=2,5\\ x=\dfrac{2,5}{0,01}=250$

Die Ware kostet 250€.

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 Wie ist hier die Eingabelogik:  tan ß = 1  | tan^-1     ß =  45° ?

Hallo calypso1, betätige die Felder wie folgt:

$\circ Deg\\ atan\\ 1\\ =\\ \color{blue}Ergebnis:tan^{-1}(1)=45^{\circ}$

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$\dfrac{12,5km\cdot t}{h}+\dfrac{15,5km\cdot t}{h}=140km\\ \dfrac{28km\cdot t}{h}=140km\\ t=\dfrac{140km\cdot h}{28km}\\ \color{blue}t=5h$

 !

Die beiden Radfahrer treffen sich in genau 5 Stunden.

Bei einer Menge von $x=30$ Mengeneinheiten ME fallen Kosten von $K=800$ Geldeinheiten GE an; bei einer Menge von $x = 50$ME fallen Kosten von $K=1200$ GE an.

Mein Versuch:

y = R-1/2*sqrt(4R²-S²)      | -R | *(-1)

R-y = 1/2*sqrt(4R²-S²)      | *2

2(R-y) = sqrt(4R²-S²)        | ^²

4(R-y)² = (4R²-S²)

4(R²-2Ry+y²) = (4R²-S²)

4R²-8Ry+4y² = 4R²-S²    | -4R²

-8Ry+4y² = -S²                | *(-1)

8Ry-4y² = S²                   | ⁺- sqrt

⁺_- sqrt(8Ry-4y²) = S

Hallo Wickilif3a!

2.a) zwei Drittel von 162 €

$162\ €\cdot\frac{2}{3}=\color{blue}108\ €$

2.b) 24 % des Drittels von 162 €

$\frac{162\ €}{3}\cdot \frac{24}{100}=\color{blue}12.96\ €$

3. Wie hoch ist der Preis pro kg für dieses Fleisches?

$2.8\ kg:18.06\ €=1\ kg:x\\ 2.8\ kg\cdot x=18,06\ €\cdot 1\ kg\ |\ /2.8\ kg\\ x=\frac{18,06\ €\cdot 1\ kg}{2.8\ kg}\\ x=\color{blue}6.45\ €$

Der Preis pro kg für dieses Fleisch ist 6.45 €.

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Hi, Asinus!

Danke für deine Antwort! 😁

Hallo Wickilif3a!

$g=27-5/3*4+22/46-35\\ g=27-\frac{5}{3}\cdot 4+\frac{22}{46}-35\\ g=\frac{27\cdot 3\cdot 46-5\cdot 46\cdot 4+22\cdot 3-35\cdot 3\cdot 46}{3\cdot 46}=-\frac{1958}{138}\\ g=-\frac{979}{69}$

$h=7-1/7+16/21\\ h=\frac{7\cdot 7\cdot 21-1\cdot 21+16\cdot 7}{7\cdot 21}\\ h=\frac{1029-21+112}{147}\\ h=\frac{1120}{147}$

$i=a+b/c=\frac{ac+b}{c}$

$j=p/3-5/2p\\ j=\frac{p}{3}-\frac{5}{2}\cdot p\\ j= \frac{p\cdot 2-5\cdot 3\cdot p}{3\cdot 2}\\ j=-\frac{13p}{6}$

Eine Anleitung zur Fraktionenrechnung findest du unter dem Link.

Ist a Element der negativen reellen Zahlen, ist a < x < 0,

ist a Element der positiven reellen Zahlen, ist 0 < x < a.

Ich behaupte, meine Aussage ist richtig.

Ist x = a  ist die Ungleichung nicht erfüllt.

!

Ich setze beide Diagonalen gleich:

$2(R+\overline{VC})=2(R+r+\overline{MB})\\ 2(R+R\sqrt{2})=2(R+r+r\sqrt{2})\\ 2R+2\sqrt{2}R=2R+2r+2\sqrt{2}r\\ 2\sqrt{2}R=r(2+2\sqrt{2})\\ r=R\cdot \frac{2\sqrt{2}}{2+2\sqrt{2}}\cdot \frac{2-2\sqrt{2}}{2-2\sqrt{2}}\\ r=R\cdot \frac{4\sqrt{2}-4\cdot 2}{4-4\cdot 2}=R\cdot \frac{4\sqrt{2}-4\cdot 2}{-4}$

$\color{blue}r=R\cdot(2-\sqrt{2})\\ q.e.d$

Die Mittelpunkte der beiden größeren Kreise liegen auf der Winkelhalbierenden $\overline{AC}$, die zugleich die Diagonale des Quadrats ist. Der Punkt T sei der Berührungspunkt des gegebenen Kreises um U mit der Seite $\overline{AB}$. Da der Radius $\overline{UT}$ senkrecht auf $\overline{AB}$ steht, ist das Dreieck ATU zugleich gleichschenklig und rechtwinklig, und wegen des Satzes des Pythagoras folgt $|\overline{AU}|=\sqrt{2}R$, der sich auch in $|\overline{VC}|=\sqrt{2}R$ anwenden lässt; mithin ist

$|\overline{AC}|=|\overline{AU}|+|\overline{UV}|+|\overline{VC}|=\sqrt{2}R+2R+\sqrt{2}R=2R+2\sqrt{2}R$.

Auf den Seiten $\overline{AB}$ und $\overline{BC}$ mögen N beziehungsweise P diejenigen Punkte sein, für die die Gerade PN die beiden größeren Kreise tangiert. Es ist PN parallel zur Diagonale $\overline{AC}$, denn die gegebene Situation ist symmetrisch bezüglich Spiegelung an der anderen Diagonale des Quadrats.

Ferner sei ADEC das Rechteck, dessen Seite $\overline{DE}$ man durch Verlängerung von $\overline{PN}$ erhält. Schließlich seien M der Mittelpunkt und F der auf $\overline{PN}$ gelegene Berührungspunkt des Innenkreises des Dreiecks BPN.

Da der Kreis mit Radius R um U seinen Mittelpunkt auf der Grundseite $\overline{AC}$ des Rechtecks ADEC hat und die gegenüberliegende Seite berührt, ist die Höhe $|\overline{AD}|=R$. Das Dreieck ADN ist zugleich gleichschenklig und rechtwinklig; insbesondere gilt für seine Katheten

$|\overline{DN}|=|\overline{AD}|=R$,

und analog überlegt man sich, dass auch $|\overline{PE}|=R$ gilt.

Da auch das Dreieck BPN zugleich gleichschenklig und rechtwinklig ist, muss F der Mittelpunkt seiner Hypotenuse sein, was $|\overline{NF}|=|\overline{FP}|=|\overline{BF}|$impliziert. Damit wird man auf eine zweite Formel für geführt, nämlich

$|\overline{AC}|=|\overline{DE}|=|\overline{DN}|+|\overline{NF}|+|\overline{FP}|+|\overline{PE}|=2R+2|\overline{BF}|$.

Im Zusammenspiel mit (1) zeigt dies

$|\overline{BF}|=\sqrt{2}R$.

Wegen

$|\overline{BF}|=|\overline{BM}|+|\overline{MF}|=\sqrt{2}r+r=(\sqrt{2}+1)r$

folgt hieraus

$r=\frac{\sqrt{2}R}{\sqrt{2}+1}=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)R}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=(2-\sqrt{2})R$.

QED

$R(1+2\sqrt{2})=r(2+2\sqrt{2})\\ r=R\cdot \frac{1+2\sqrt{2}}{2+2\sqrt{2}}\cdot \frac{2-2\sqrt{2}}{2-2\sqrt{2}} =R\cdot \frac{2-2\sqrt{2}+4 \sqrt{2}-8}{4-8}\\ r=R\cdot \frac{-6+2\sqrt{2}}{-4}\\ \color{blue}r=\frac{R}{2}\cdot (3-\sqrt{2})$

!

Leider auch falsch! Bin etwas aus der Übung.

$2R+2\sqrt{2}R=R+2r+2\sqrt{2}r\\ R+2\sqrt{2}R=2r+2\sqrt{2}r\\ R(1+2\sqrt{2})=r(2+2\sqrt{2})\\ \color{blue}r=0,792893218813\cdot R\\ 2-\sqrt{2}=0,585786...\\ \color{blue } !\ r\neq (2-\sqrt{2})R\ !$

!

Da habe ich mich leider verrechnet. Sorry!

Ich hoffe, du hattest viel Spaß, diese Aufgabe zu lösen!

Kleine Anmerkung (ich skippe mal die Zwischenschritte ;)): Wenn a < 0, dann ist nur 2ax >= x^2 für x <= 0 erfüllbar. Daraus leitet man ab, dass | x | <=  | a | durch den negativen Wert x zu x >= a wird. Tatsächlich ist für die reellen Zahlen x mit a <= x <= 0 auch 2ax >= x^2 erfüllt, sodass die Radikanden beide nicht negativ sind, wenn a <= x <= 0 gilt.

Und ist a = 0, so erfüllt keine reelle Zahl x die oben genannte Ungleichung.

Dennoch danke!

Alle reellen Zahlen x in Abhängigkeit von der reellen Zahl a.

$\color{black }\sqrt{a^2-x^2} + \sqrt{2ax - x^2} > a$

Mit der Darstellung der Graphen der Funktionen 

$\color{black}f_1(x)=\sqrt{a^2-x^2} + \sqrt{2ax - x^2}$

und

$\color{black}f_2(x)=a$

und dem Einsetzen von reellen Zahlen in a ist als Lösung erkennbar:

LATEX spielt mal wieder verückt. Deshalb Text ohne Latex.

Ist a Element der negativen reellen Zahlen, ist a < x < 0,

ist a Element der positiven reellen Zahlen, ist 0 < x < a.

Leider ist mir die Darstellung der Graphen hier nicht möglich.

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Die erste Ableitung $f'(x)=\frac{2}{(x+1)^2}$ der Funktion $f(x)=\frac{x-1}{x+1}$ ist

im Bereich $\{-\ unendlich\ <\ x\ <\ -1\}$ streng monoton steigend,

im Bereich $\{-1\ <\ x\ <\ unendlich\}$ streng monoton fallend.

Um zu beweisen, dass f'(x) auch im Bereich $\{-1\ <\ x\ <\ 1\}$ streng monoton fallend ist, betrachten wir

die zweite Ableitung $f''(x)=-\frac{4}{(x+1)^3}$ in diesem Bereich.

$f(x)=\frac{x-1}{x+1}\\ {\color{blue}f'(x)}=\frac{u'v-uv'}{v^2}=\frac{1\cdot (x+1)-(x-1)\cdot 1}{(x+1)^2}=\color {blue}\frac{2}{(x+1)^2}\\ {\color{blue}f''(x)}=\frac{u'v-uv'}{v^2}=\frac{0-2\cdot 2\cdot (x+1)\cdot 1}{(x+1)^4}=\color{blue}-\frac{4}{(x+1)^3}$

Der 2.0rechner bestätigt beim Einsetzen von Werten x des Bereiches $\{-1\ <\ x\ <\ 1\}$ in die Funktion f''(x) mit den zugehörigen domain-Werten (alle negativ), dass f'(x) in diesem Bereich streng monoton fallend ist. 

Zum Begriff $streng\ monoton\ steigend/fallend$ klicke den Link.

$(ax\cdot \frac{a}{x})^3$

zuerst den Wert in Klammern berechnen

$ax\cdot \frac{a}{x} | x\ k\ddot urzen,\ a\ multiplizieren\ $

$ax\cdot \frac{a}{x}=a^2\ $

Danach Klammer potenzieren

$(a^2)^3=a^{2\cdot 3}=\color {blue}{a^6}$

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