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Wie kann man überprüfen ob die erste Ableitung der Funktion f(x)= (x-1)/(x+1) über ihrem Definitionsbereich (x ungleich -1 und x ungleich 1) 

f´(x) = 2/(x+1)2 streng monoton fallend ist?

 19.01.2024
 #1
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Die erste Ableitung \(f'(x)=\frac{2}{(x+1)^2}\) der Funktion \(f(x)=\frac{x-1}{x+1}\) ist

im Bereich \(\{-\ unendlich\ <\ x\ <\ -1\}\) streng monoton steigend,

im Bereich \(\{-1\ <\ x\ <\ unendlich\}\) streng monoton fallend.

Um zu beweisen, dass f'(x) auch im Bereich \(\{-1\ <\ x\ <\ 1\}\) streng monoton fallend ist, betrachten wir

die zweite Ableitung \(f''(x)=-\frac{4}{(x+1)^3}\) in diesem Bereich.

\(f(x)=\frac{x-1}{x+1}\\ {\color{blue}f'(x)}=\frac{u'v-uv'}{v^2}=\frac{1\cdot (x+1)-(x-1)\cdot 1}{(x+1)^2}=\color {blue}\frac{2}{(x+1)^2}\\ {\color{blue}f''(x)}=\frac{u'v-uv'}{v^2}=\frac{0-2\cdot 2\cdot (x+1)\cdot 1}{(x+1)^4}=\color{blue}-\frac{4}{(x+1)^3}\)

Der 2.0rechner bestätigt beim Einsetzen von Werten x des Bereiches \(\{-1\ <\ x\ <\ 1\}\) in die Funktion f''(x) mit den zugehörigen domain-Werten (alle negativ), dass f'(x) in diesem Bereich streng monoton fallend ist. 

Zum Begriff \(streng\ monoton\ steigend/fallend\) klicke den Link.

https://www.studienkreis.de/mathematik/monotonie-funktionen/

smiley!

 20.01.2024
bearbeitet von asinus  20.01.2024
bearbeitet von asinus  20.01.2024
bearbeitet von asinus  20.01.2024
bearbeitet von asinus  21.01.2024
bearbeitet von asinus  21.01.2024

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