Erste Ableitung : Überprüfung streng monton steigend

Die erste Ableitung $f'(x)=\frac{2}{(x+1)^2}$ der Funktion $f(x)=\frac{x-1}{x+1}$ ist

im Bereich $\{-\ unendlich\ <\ x\ <\ -1\}$ streng monoton steigend,

im Bereich $\{-1\ <\ x\ <\ unendlich\}$ streng monoton fallend.

Um zu beweisen, dass f'(x) auch im Bereich $\{-1\ <\ x\ <\ 1\}$ streng monoton fallend ist, betrachten wir

die zweite Ableitung $f''(x)=-\frac{4}{(x+1)^3}$ in diesem Bereich.

$f(x)=\frac{x-1}{x+1}\\ {\color{blue}f'(x)}=\frac{u'v-uv'}{v^2}=\frac{1\cdot (x+1)-(x-1)\cdot 1}{(x+1)^2}=\color {blue}\frac{2}{(x+1)^2}\\ {\color{blue}f''(x)}=\frac{u'v-uv'}{v^2}=\frac{0-2\cdot 2\cdot (x+1)\cdot 1}{(x+1)^4}=\color{blue}-\frac{4}{(x+1)^3}$

Der 2.0rechner bestätigt beim Einsetzen von Werten x des Bereiches $\{-1\ <\ x\ <\ 1\}$ in die Funktion f''(x) mit den zugehörigen domain-Werten (alle negativ), dass f'(x) in diesem Bereich streng monoton fallend ist. 

Zum Begriff $streng\ monoton\ steigend/fallend$ klicke den Link.

https://www.studienkreis.de/mathematik/monotonie-funktionen/

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