Knobelaufgabe – Beweis (Geometrie)

$2R+2\sqrt{2}R=R+2r+2\sqrt{2}r\\ R+2\sqrt{2}R=2r+2\sqrt{2}r\\ R(1+2\sqrt{2})=r(2+2\sqrt{2})\\ \color{blue}r=0,792893218813\cdot R\\ 2-\sqrt{2}=0,585786...\\ \color{blue } !\ r\neq (2-\sqrt{2})R\ !$

!

Da habe ich mich leider verrechnet. Sorry!

Die Mittelpunkte der beiden größeren Kreise liegen auf der Winkelhalbierenden $\overline{AC}$, die zugleich die Diagonale des Quadrats ist. Der Punkt T sei der Berührungspunkt des gegebenen Kreises um U mit der Seite $\overline{AB}$. Da der Radius $\overline{UT}$ senkrecht auf $\overline{AB}$ steht, ist das Dreieck ATU zugleich gleichschenklig und rechtwinklig, und wegen des Satzes des Pythagoras folgt $|\overline{AU}|=\sqrt{2}R$, der sich auch in $|\overline{VC}|=\sqrt{2}R$ anwenden lässt; mithin ist

$|\overline{AC}|=|\overline{AU}|+|\overline{UV}|+|\overline{VC}|=\sqrt{2}R+2R+\sqrt{2}R=2R+2\sqrt{2}R$.

Auf den Seiten $\overline{AB}$ und $\overline{BC}$ mögen N beziehungsweise P diejenigen Punkte sein, für die die Gerade PN die beiden größeren Kreise tangiert. Es ist PN parallel zur Diagonale $\overline{AC}$, denn die gegebene Situation ist symmetrisch bezüglich Spiegelung an der anderen Diagonale des Quadrats.

Ferner sei ADEC das Rechteck, dessen Seite $\overline{DE}$ man durch Verlängerung von $\overline{PN}$ erhält. Schließlich seien M der Mittelpunkt und F der auf $\overline{PN}$ gelegene Berührungspunkt des Innenkreises des Dreiecks BPN.

Da der Kreis mit Radius R um U seinen Mittelpunkt auf der Grundseite $\overline{AC}$ des Rechtecks ADEC hat und die gegenüberliegende Seite berührt, ist die Höhe $|\overline{AD}|=R$. Das Dreieck ADN ist zugleich gleichschenklig und rechtwinklig; insbesondere gilt für seine Katheten

$|\overline{DN}|=|\overline{AD}|=R$,

und analog überlegt man sich, dass auch $|\overline{PE}|=R$ gilt.

Da auch das Dreieck BPN zugleich gleichschenklig und rechtwinklig ist, muss F der Mittelpunkt seiner Hypotenuse sein, was $|\overline{NF}|=|\overline{FP}|=|\overline{BF}|$impliziert. Damit wird man auf eine zweite Formel für geführt, nämlich

$|\overline{AC}|=|\overline{DE}|=|\overline{DN}|+|\overline{NF}|+|\overline{FP}|+|\overline{PE}|=2R+2|\overline{BF}|$.

Im Zusammenspiel mit (1) zeigt dies

$|\overline{BF}|=\sqrt{2}R$.

Wegen

$|\overline{BF}|=|\overline{BM}|+|\overline{MF}|=\sqrt{2}r+r=(\sqrt{2}+1)r$

folgt hieraus

$r=\frac{\sqrt{2}R}{\sqrt{2}+1}=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)R}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=(2-\sqrt{2})R$.

QED

Ich setze beide Diagonalen gleich:

$2(R+\overline{VC})=2(R+r+\overline{MB})\\ 2(R+R\sqrt{2})=2(R+r+r\sqrt{2})\\ 2R+2\sqrt{2}R=2R+2r+2\sqrt{2}r\\ 2\sqrt{2}R=r(2+2\sqrt{2})\\ r=R\cdot \frac{2\sqrt{2}}{2+2\sqrt{2}}\cdot \frac{2-2\sqrt{2}}{2-2\sqrt{2}}\\ r=R\cdot \frac{4\sqrt{2}-4\cdot 2}{4-4\cdot 2}=R\cdot \frac{4\sqrt{2}-4\cdot 2}{-4}$

$\color{blue}r=R\cdot(2-\sqrt{2})\\ q.e.d$