Hallo an alle,
da hat doch glatt wirklich jemand einen Rechner gefunden, der diese Summe bestimmt...
Der schönere Lösungsweg ist folgender:
Wir schätzen zunächst 2016777 ab:
2016777<10.0001000=(104)1000=104000
Demnach hat 2016777 höchstens 4.000 Stellen. (Mehr nicht? 

)
Allgemein bekannt ist, dass die Quersumme einer durch 9 teilbaren Zahl auch durch 9 teilbar ist.
2016777=20162∗2016775=(3∗672)2∗2016775=9∗6722∗2016775
2016777 ist also durch 9 teilbar; demnach auch Q(Q(Q(2016777))).
Nehmen wir nun an, dass das Ergebnis - nennen wir es der Einfachheit halber Q(Q(Q(z))) - größer als 9 ist.
Es ist dann mindestens 18 (Muss ja durch 9 teilbar sein).
Eine Zahl mit der Quersumme 18 muss mindestens 99 betragen, da jede Ziffer höchstens einen Wert von 9 hat.
Demnach würde dann gelten:
Q(Q(2016777))≥99
Eine Zahl mit der Quersumme 99 muss mindestens 11 Ziffern haben (99.999.999.999).
Demnach würde dann gelten:
Q(2016777))≥99.999.999.999
Eine Zahl mit der Quersumme 99.999.999.999 muss mindestens 11.111.111.111 Ziffern haben.
2016777 hat aber höchstens 4.000 Ziffern!
Demnach ist Q(Q(Q(2016777)))=9.
Das lässt sich auch bei wesentlich höheren Zahlen so machen!
(Die bekommt ein Taschenrechner dann auch nicht mehr hin, ich habe sehr klein gewählt
)
Grüße
melwei