Hallo Sinus,
ich habe eine solche Methode gefunden.
Eine fertige Formel oder ähnliches ist es zwar bisher nicht, aber ich kann nachweisen, dass es unendlich viele dieser Zahlen gibt (1+2+3=1*2*3 ist bei weitem nicht die einzige. (1+1+1+3+3=1*1*1*3*4=9)!) und nenne in Teil 2 auch einen Weg alle zu finden:
Hier kommt mein Beweis:
Wir wählen beliebig viele Zahlen aus, deren Produkt größer ist als ihre Summe. Da das für die meisten Zahlenkombinationen zutrifft, haben wir beliebig viele zur Auswahl. Dann fügen wir 1er hinzu. Dabei bleibt das Produkt gleich, die Summe hingegen steigt immer um 1. Wir fügen jetzt einfach so viele 1er hinzu, dass die Summe am Ende bis auf den Wert des Produkts angewachsen ist, und schon haben wir eine Zahlenkombination, die unsere Bedingung erfüllt. Beispiel:
2 und 4. 2*4=8 ist größer als 2+4=6. Dazwischen liegt ein Abstand von 2. Wir fügen also zwei 1er hinzu:
1*1*2*4=8 und 1+1+2+4=8.
Schon haben wir eine neue Kombination (müsste übrigens die einzige vierstellige sein)!
Auch können wir jetzt das ganze weiterspinnen und zeigen, dass alle Kombinationen mit unserer Bedingung (mit 3 oder mehr Stellen) sich so darstellen lassen. Das geht so:
Wir zeigen erstmal, dass jede unserer Zahlen mit 3 oder mehr Stellen mindestens eine 1 enthält. Wir verwenden den Fall, dass die n-stellige Zahl aus n 2ern besteht. Dann erhalten wir \(2^n\) als Produkt und \(2n\) als Summe. Ab dem Wert n=3 ist also das Produkt höher als die Summe. Erhöhen wir jetzt eine der Ziffern um 1, so steigt die Summe um 1, das Produkt um das Produkt der übrigen Zahlen. Das Produkt würde also schneller steigen, und würde somit auch größer bleiben als die Summe.
Wir brauchen also mindestens eine 1, um eine solche Zahl mit Länge 3 oder mehr zu erreichen!
Betrachten wir nun die Stellen der Zahl, die keine 1er sind. Ihr Produkt muss höher sein als ihre Summe, da wir mit den 1ern eine Steigerung der Summe, aber keine Steigerung des Produkts erreichen. Die Zahlen sind also nach unserer Methode von oben erreichbar.
Wir erreichen also genau alle solchen Zahlen (mit min. 3 Stellen) mit dieser Methode, und die übrigen sind leicht zu finden: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 22.
Die gesuchte Methode ist folgende: Wir verwenden beliebig viele Ziffern (ohne 1) und fügen dann so viele 1er hinzu, bis die Summe gleich dem Produkt ist. Damit erwischen wir alle 3- oder mehrstelligen Zahlen, die übrigen sind die von 1 bis 9 und die 22.
Danke für die wunderbare Aufgabe!
Grüße
melwei
)