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Hallo zusammen,

hier kommt eine schwere Knobelaufgabe:

 

Seien a,b,c,d>0. Sei

\(f(x)=\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+d}+\frac{c}{a+c+d}+\frac{d}{b+c+d}\)

Ermittle alle Werte für f(x)!

 

Ich weiß nicht, ob sich diese Aufgabe auch "stur" lösen lässt, es gibt zumindest eine sehr schöne Lösung.

 

Viel Spaß!

 

Grüße

melwei

 03.04.2016
 #1
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Hallo zusammen,

Da keiner die Lösung gefunden hat, löse ich die Sache jetzt auf.

 

Wir schätzen f(a,b,c,d) ab. Entfernen wir positive Zahlen aus dem Nenner eines Bruchs, so wird dieser größer.

Es gilt also:

\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{c+d}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+d}+\frac{c}{a+c+d}+\frac{d}{b+c+d}=f(a,b,c,d)\)

Also:

\(\frac{a+b}{a+b}+\frac{c+d}{c+d}=2>f(a,b,c,d)\)

 

Für eine Abschätzung in die andere Richtung können wir Werte zum Nenner hinzufügen:

\(\frac{a}{a+b+c+d}+\frac{b}{a+b+c+d}+\frac{c}{a+b+c+d}+\frac{d}{a+b+c+d}<\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+d}+\frac{c}{a+c+d}+\frac{d}{b+c+d}=f(a,b,c,d)\)

Also:

\(\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}=1<f(a,b,c,d)\)

Nun zeigen wir, dass f(a,b,c,d) auch gegen 1 und gegen 2 gehen kann:

 

Wir berechnen f(a,b,c,d) für

\(a,b= \rightarrow 0 \leftarrow\) (So schreibe ich a geht gegen 0, also der kleinste Wert mit a>0)

\(c,d=1\)

Und erhalten:

\(f(a,b,c,d)=\frac{\rightarrow 0 \leftarrow}{\rightarrow 1 \leftarrow}+\frac{\rightarrow 0 \leftarrow}{\rightarrow 1 \leftarrow}+\frac{1}{\rightarrow 2 \leftarrow}+\frac{1}{\rightarrow 2 \leftarrow}=\rightarrow 1 \leftarrow\)

 

Wir berechnen f(a,b,c,d) für

\(a,d= \rightarrow 0 \leftarrow\)

\(b,c=1\)

Und erhalten:

\(f(a,b,c,d)=\frac{\rightarrow 0 \leftarrow}{\rightarrow 2 \leftarrow}+\frac{1}{\rightarrow 1 \leftarrow}+\frac{1}{\rightarrow 1 \leftarrow}+\frac{\rightarrow 0 \leftarrow}{\rightarrow 2 \leftarrow}=\rightarrow 2 \leftarrow\)

 

\(f(a,b,c,d)\) kann also alle Werte x mit 1<x<2 annehmen!

 

Grüße

melwei

 05.04.2016

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