Hallo zusammen,
Da keiner die Lösung gefunden hat, löse ich die Sache jetzt auf.
Wir schätzen f(a,b,c,d) ab. Entfernen wir positive Zahlen aus dem Nenner eines Bruchs, so wird dieser größer.
Es gilt also:
\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{c+d}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+d}+\frac{c}{a+c+d}+\frac{d}{b+c+d}=f(a,b,c,d)\)
Also:
\(\frac{a+b}{a+b}+\frac{c+d}{c+d}=2>f(a,b,c,d)\)
Für eine Abschätzung in die andere Richtung können wir Werte zum Nenner hinzufügen:
\(\frac{a}{a+b+c+d}+\frac{b}{a+b+c+d}+\frac{c}{a+b+c+d}+\frac{d}{a+b+c+d}<\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+d}+\frac{c}{a+c+d}+\frac{d}{b+c+d}=f(a,b,c,d)\)
Also:
\(\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}=1<f(a,b,c,d)\)
Nun zeigen wir, dass f(a,b,c,d) auch gegen 1 und gegen 2 gehen kann:
Wir berechnen f(a,b,c,d) für
\(a,b= \rightarrow 0 \leftarrow\) (So schreibe ich a geht gegen 0, also der kleinste Wert mit a>0)
\(c,d=1\)
Und erhalten:
\(f(a,b,c,d)=\frac{\rightarrow 0 \leftarrow}{\rightarrow 1 \leftarrow}+\frac{\rightarrow 0 \leftarrow}{\rightarrow 1 \leftarrow}+\frac{1}{\rightarrow 2 \leftarrow}+\frac{1}{\rightarrow 2 \leftarrow}=\rightarrow 1 \leftarrow\)
Wir berechnen f(a,b,c,d) für
\(a,d= \rightarrow 0 \leftarrow\)
\(b,c=1\)
Und erhalten:
\(f(a,b,c,d)=\frac{\rightarrow 0 \leftarrow}{\rightarrow 2 \leftarrow}+\frac{1}{\rightarrow 1 \leftarrow}+\frac{1}{\rightarrow 1 \leftarrow}+\frac{\rightarrow 0 \leftarrow}{\rightarrow 2 \leftarrow}=\rightarrow 2 \leftarrow\)
\(f(a,b,c,d)\) kann also alle Werte x mit 1<x<2 annehmen!
Grüße
melwei
