Quersummen

Gute Nacht melwei!

Sei Q(n) die Quersumme einer natürlichen Zahl (Summe ihrer Ziffern).

Berechne Q(Q(Q(2016⁷⁷⁷)))

Q(Q(Q(2016⁷⁷⁷))) = Q(Q(Q(9 * 777))) = Q(Q(Q(6993))) = Q(Q(27)) = Q(9) = 9

Q(Q(Q(2016777))) = 9

Gruß asinus :- )

  !

Hallo zusammen,

hier kommt meine nächste kleine Knobelei:

Sei Q(n) die Quersumme einer natürlichen Zahl (Summe ihrer Ziffern).

Berechne: Q(Q(Q(\(2016^{777}\))))

\(\begin{array}{rcll} Q( 2016^{777} ) &=& 11700 \\ Q( 11700 ) &=& 9 \\ Q( 9 ) &=& 9 \\\\ \mathbf{ Q(Q(Q( 2016^{777} ))) } & \mathbf{=} & \mathbf{9} \end{array}\)

see: 

Hallo an alle,

da hat doch glatt wirklich jemand einen Rechner gefunden, der diese Summe bestimmt...

Der schönere Lösungsweg ist folgender:

Wir schätzen zunächst  \(2016^{777}\) ab:

\(2016^{777}<10.000^{1000}=(10^4)^{1000}=10^{4000}\)

Demnach hat  \(2016^{777}\) höchstens 4.000 Stellen. (Mehr nicht? )

Allgemein bekannt ist, dass die Quersumme einer durch 9 teilbaren Zahl auch durch 9 teilbar ist.

\(2016^{777}=2016^2*2016^{775}=(3*672)^2*2016^{775}=9*672^2*2016^{775}\)

\(2016^{777}\) ist also durch 9 teilbar; demnach auch Q(Q(Q(\(2016^{777}\)))).

Nehmen wir nun an, dass das Ergebnis - nennen wir es der Einfachheit halber Q(Q(Q(z))) - größer als 9 ist.

Es ist dann mindestens 18 (Muss ja durch 9 teilbar sein).

Eine Zahl mit der Quersumme 18 muss mindestens 99 betragen, da jede Ziffer höchstens einen Wert von 9 hat.

Demnach würde dann gelten:

\(Q(Q(2016^{777}))\geq 99\)

Eine Zahl mit der Quersumme 99 muss mindestens 11 Ziffern haben (99.999.999.999).

Demnach würde dann gelten:

\(Q(2016^{777}))\geq 99.999.999.999\)

Eine Zahl mit der Quersumme 99.999.999.999 muss mindestens 11.111.111.111 Ziffern haben.

\(2016^{777}\) hat aber höchstens 4.000 Ziffern!

Demnach ist Q(Q(Q(\(2016^{777}\))))=9.

Das lässt sich auch bei wesentlich höheren Zahlen so machen!

(Die bekommt ein Taschenrechner dann auch nicht mehr hin, ich habe sehr klein gewählt )

Grüße

melwei