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Was möchtest du denn zeigen? Deine Angabe macht so wie sie ist keinen Sinn.

Es seien n ∈ N und N Und wie beweise ich dies durch eine vollständige Induktion?

man soll den Term vereinfachen 

Vielen Dank!!

Immerhin, gute Arbeit - dann übernehm' ich die zweite:

Fall 1 (beide positiv):

Dann ist |x+y| = x+y = |x|+|y|. Die Gleichung stimmt also, denn der zweite Summand rechts ( |x-y| ) ist mindestens 0.

Fall 2 (x positiv, y negativ)

Dann ist |x-y| = |x+ (-y)| = x + (-y) =|x|+|y| (denn -y ist dann positiv). Die Gleichung stimmt also, denn der zweite Summand rechts ( |x+y| ) ist mindestens 0.

Fall 3 folgt aus Fall 2: Es ist |x-y|=|y-x|, mit Umbenennung der Variablen folgt die Aussage.

Und Fall 4 läuft fast wie Fall 1:

Es ist |x+y| = -(x+y) = -x+(-y) = |x|+|y|. Die Gleichung stimmt also, denn der zweite Summand rechts ( |x-y| ) ist mindestens 0.

Danke also das erste habe ich jetzt hingekriegt, aber beim zweiten bin ich immer noch verzweifelt

Für die erste würde ich empfehlen, eine Fallunterscheidung zu machen: 

1. x>0, y>0

2. x>0 y<0

3. x<0, y>0

3. x<0, y<0

Eigentlich sollten die gleichen Fallunterscheidungen bei der zweiten auch  helfen. Probier's gern mal und sag' an wie's lief :D

Ich verstehe leider nicht so viel von Mathe... Sorry, kann leider nicht helfen!

Sie haben einiges Vergessen:

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Frohes gelingen beim Knobeln! :)

Das ist Unsinn.

Stimmt hast recht 10 , 1 ODER 0 ... WAS ein lehrer ! bei uns auch so !!!!

Danke war Falsch den 1+1 = 10 ,1 oder 0 LAut ETD

1+1 ergibt laut beweiß :

1+1 = 2

2:2=1
1:2 = 0,5
0,5*2 = 1

Ziemlich. Ein bisschen ausformulieren müsstest du's wahrscheinlich noch.

Ganz vollständig könnt's so aussehen:

Es gilt

\(lim_{x \rightarrow \infty}|a_n| = |a| \Leftrightarrow \\ \forall \epsilon > 0 \ \exists N \in \mathbb{N} : ||a_n|-|a||< \epsilon \Leftarrow \\ \forall \epsilon > 0 \ \exists N \in \mathbb{N} : |a_n - a|< \epsilon\Leftrightarrow \\ lim_{x \rightarrow \infty}a_n = a \)

Die erste Äquivalenz ist die Definition des Grenzwerts angewandt auf die Folge der Beträge, die zweite Äquivalenz Implikation in der nächsten Zeile folgt aus der von mir in meiner ersten Antwort erwähnten Ungleichung. In Summe sehen wir: Die zu zeigende Aussage ist nicht äquivalent zur Angabe, folgt aber aus ihr, und das reicht uns ja. 

Vielleicht kannst du als kleine Übung noch ein Gegenbeispiel finden, warum die umgekehrte Richtung nicht gilt (also eine Folge (a_n)_n ohne Grenzwert, derren Betragsfolge aber konvergiert.

also bei Nummer 2 nur das die Antwort?

Wird schwierig, dir bei 1. zu helfen, wenn du uns die Inhalte von Definition 3.8 und Satz 2.1.11 nicht verrätst. Tatsächlich haben nicht alle Lehrbücher/Skripte die gleiche Nummerierung.

Die sin-Taste etwas gedrückt halten. Der asin ist dann dein sin^-1.

Wir schauen uns zunächst mal den Teil links vom < an:

\(|\frac{3n+2}{5n+7}-\frac{3}{5} |= \\ |\frac{3n+2}{5n+7}-\frac{3(n+1,4)}{5(n+1,4)}| = \\ |\frac{3n+2-3n-4,2}{5n+7} |= \\ | \frac{-2,2}{5n+7} | = \\ \frac{2,2}{5n+7}\)

Jetzt geht's damit in die Ungleichung und wir lösen nach n auf:

\(\frac{2,2}{5n+7}<\epsilon \\ 2,2 < \epsilon (5n+7) \\ \frac{2,2}{\epsilon} < 5n+7 \\ \frac{2,2}{\epsilon}-7 < 5n \\ \frac{\frac{2,2}{\epsilon}-7}{5} < n \\ \frac{11}{25\epsilon} -1,4 < n\)

Wir haben also eine Untergrenze für n gefunden. Die gesuchte Zahl N ist die kleinste natürliche Zahl, für die diese Ungleichung gilt. 

Wir können das schreiben als

\(N(\epsilon) = min( \{ n \in \mathbb{N} \ | \ \frac{11}{25\epsilon}-1,4 < n \})\)

(Wärs keine echte Ungleichung wäre Aufrunden auch eine Option. Mit echter Ungleichung ergäbe sich ein Widerspruch, wenn die linke Seite ganzzahlig ist.)

Ich hoff das hilft, frag' gern nach wenn was unklar ist! 

Den ersten Teil gab's ja schon hier:

Hallo Gast!

\(\frac{1}{6}x+\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}x+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}x=\frac{(3+12+6+2)x}{18}+\frac{1}{9}\color{blue}=\frac{23}{18}x+\frac{1}{9}\)

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Vielen Dank! Bist ein Retter!

Hattest du ja schon gestellt - ja, mach ich auf jeden fall noch, ich antworte dann unter deiner alten Frage. Spätestens morgen kriegst du deine Antwort :)

Vielen Dank!

Ich hätte noch eine weitere Frage. Und zwar ist die Aufgabe:

Sei ε > 0. Finden Sie ein N = N(ε) ∈ N, so dass für alle n ≥ N gilt:

Ich finde da leider auch keinen Ansatz. Wäre sehr dankbar wenn du mir da nochmal helfen könntest

Wollt's letztens schon machen, aber hier herrscht akuter Freizeitmangel. Jetzt geht's aber los! 

Der Induktionsanfang ist ja quasi schon gegeben (für n=1). 

Wir nehmen also an, dass f(n)=a^n ist für eine Zahl n und wollen zeigen, dass die Aussage für n+1 auch stimmt.

Es ist 

f(n+1) = f(n) * f(1) = a^n * a = a^(n+1)

Damit sind wir fertig. Frag' gern nach wenn was unklar ist :)

Hallo Gast!

\( 0,000025=0,693\cdot (10000+2x)\cdot 0,000000010\\ \color{blue}x=\dfrac{\dfrac{0,000025}{0,693\cdot 0,000000010}-10000}{2} \)

Das kannst du mit dem web2.0rechner selbst ausrechnen.

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