+12 Aufgabe 1
Sei \( \varepsilon>0 \). Finden Sie ein \( N=N(\varepsilon) \in \mathbb{N} \), so dass für alle \( n \geq N \) gilt:
\(
\left|\frac{3 n+2}{5 n+7}-\frac{3}{5}\right|<\varepsilon .
\)
Aufgabe 2
Seien \( \left(a_{n}\right)_{n} \) und \( \left(b_{n}\right)_{n} \) zwei konvergente Folgen reeller Zahlen mit
\(
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=a \quad \text { und } \quad \lim \limits_{n \rightarrow \infty} b_{n}=b .
\)
+3976 Wir schauen uns zunächst mal den Teil links vom < an:
\(|\frac{3n+2}{5n+7}-\frac{3}{5} |= \\ |\frac{3n+2}{5n+7}-\frac{3(n+1,4)}{5(n+1,4)}| = \\ |\frac{3n+2-3n-4,2}{5n+7} |= \\ | \frac{-2,2}{5n+7} | = \\ \frac{2,2}{5n+7}\)
Jetzt geht's damit in die Ungleichung und wir lösen nach n auf:
\(\frac{2,2}{5n+7}<\epsilon \\ 2,2 < \epsilon (5n+7) \\ \frac{2,2}{\epsilon} < 5n+7 \\ \frac{2,2}{\epsilon}-7 < 5n \\ \frac{\frac{2,2}{\epsilon}-7}{5} < n \\ \frac{11}{25\epsilon} -1,4 < n\)
Wir haben also eine Untergrenze für n gefunden. Die gesuchte Zahl N ist die kleinste natürliche Zahl, für die diese Ungleichung gilt.
Wir können das schreiben als
\(N(\epsilon) = min( \{ n \in \mathbb{N} \ | \ \frac{11}{25\epsilon}-1,4 < n \})\)
(Wärs keine echte Ungleichung wäre Aufrunden auch eine Option. Mit echter Ungleichung ergäbe sich ein Widerspruch, wenn die linke Seite ganzzahlig ist.)
Ich hoff das hilft, frag' gern nach wenn was unklar ist!
