+12 1.Sei f:N→N mit f(m+n)=f(m)⋅f(n) für alle m,n∈N und sei f(1)=a. Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass f(n)=an für alle n∈N gilt.
n∈N gilt:
Sei x≥−1. Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für alle (1+x)n≥1+nx.
Bemerkung: Diese Ungleichung wird Bernoullische Ungleichung genannt.
+3976 Den ersten Teil gab's ja schon hier:
https://web2.0rechner.de/fragen/vollst-ndige-induktion_55
Nun zur Bernoulli-Ungleichung:
Für n=1 stimmt sie, dann gilt sogar Gleichheit.
Wir nehmen an (IV), sie würde für eine Zahl n stimmen, und folgern, dass sie auch für n+1 stimmt:
(1+x)n+1=(1+x)(1+x)n=(x+1)n+x⋅(x+1)n≥∗1+nx+x⋅(1+nx)=1+nx+x+nx2≥1+(n+1)x
Beim * wurde die IV benutzt, bei der zweiten Ungleichung wurde der Summand nx2 weggelassen, der ja immer positiv (oder 0) ist.
