+12 1.Sei \( f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \) mit \( f(m+n)=f(m) \cdot f(n) \) für alle \( m, n \in \mathbb{N} \) und sei \( f(1)=a \). Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass \( f(n)=a^{n} \) für alle \( n \in \mathbb{N} \) gilt.
\( n \in \mathbb{N} \) gilt:
Sei \( x \geq-1 \). Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für alle \( (1+x)^{n} \geq 1+n x \).
Bemerkung: Diese Ungleichung wird Bernoullische Ungleichung genannt.
+3976 Den ersten Teil gab's ja schon hier:
https://web2.0rechner.de/fragen/vollst-ndige-induktion_55
Nun zur Bernoulli-Ungleichung:
Für n=1 stimmt sie, dann gilt sogar Gleichheit.
Wir nehmen an (IV), sie würde für eine Zahl n stimmen, und folgern, dass sie auch für n+1 stimmt:
\((1+x)^{n+1} = \\ (1+x)(1+x)^n = \\ (x+1)^n + x \cdot (x+1)^n \geq^* \\ 1+nx + x \cdot (1+nx) = \\ 1+nx +x + nx^2 \geq 1+ (n+1)x\)
Beim * wurde die IV benutzt, bei der zweiten Ungleichung wurde der Summand nx2 weggelassen, der ja immer positiv (oder 0) ist.
