Aufgabe
. Seien \( \left(a_{n}\right)_{n} \) und \( \left(b_{n}\right)_{n} \) zwei konvergente Folgen reeller Zahlen mit
\(
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=a \quad \text { und } \quad \lim \limits_{n \rightarrow \infty} b_{n}=b .
\)
1. Zeigen Sie nur mit Definition \( 3.8 \) und Satz 2.1.11, dass
\(
\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(a_{n}-b_{n}\right)=a-b .
\)
2. Zeigen Sie, dass die Folge \( \left(\left|a_{n}\right|\right)_{n} \) gegen \( |a| \) konvergiert.
+3976 Wird schwierig, dir bei 1. zu helfen, wenn du uns die Inhalte von Definition 3.8 und Satz 2.1.11 nicht verrätst. Tatsächlich haben nicht alle Lehrbücher/Skripte die gleiche Nummerierung.
2. folgt eigentlich dirket aus der Definition des Grenzwerts (schau zur Not hier https://de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert_(Folge) ) zusammen mit der Ungleichung
\(| |a_n| - |a|| \leq |a_n - a|\).
+3976 Ziemlich. Ein bisschen ausformulieren müsstest du's wahrscheinlich noch.
Ganz vollständig könnt's so aussehen:
Es gilt
\(lim_{x \rightarrow \infty}|a_n| = |a| \Leftrightarrow \\ \forall \epsilon > 0 \ \exists N \in \mathbb{N} : ||a_n|-|a||< \epsilon \Leftarrow \\ \forall \epsilon > 0 \ \exists N \in \mathbb{N} : |a_n - a|< \epsilon\Leftrightarrow \\ lim_{x \rightarrow \infty}a_n = a \)
Die erste Äquivalenz ist die Definition des Grenzwerts angewandt auf die Folge der Beträge, die zweite Äquivalenz Implikation in der nächsten Zeile folgt aus der von mir in meiner ersten Antwort erwähnten Ungleichung. In Summe sehen wir: Die zu zeigende Aussage ist nicht äquivalent zur Angabe, folgt aber aus ihr, und das reicht uns ja.
Vielleicht kannst du als kleine Übung noch ein Gegenbeispiel finden, warum die umgekehrte Richtung nicht gilt (also eine Folge (an)n ohne Grenzwert, derren Betragsfolge aber konvergiert.
