Erstmal: Wenn für (iii) nur die Körperaxiome und Lemma 7.2.2. genutzt werden soll, dann wär's schon hilfreich, wenn du uns Lemma 7.2.2. mitteilen könntest - wenn wir den Inhalt dieses Lemmas raten müssen wird's sonst schwierig ;)
Die anderen beiden können wir aber machen:
Für (i) musst du zeigen, dass die Gruppenaxiome erfüllt sind, also:
1. Die Verknüpfung muss assoziativ sein.
2. Es muss ein neutrales Element existieren. Das ist sogar angegeben, nämlich die Identitätsabbildung Id.
3. Zu jedem Element f in der Menge muss ein inverses Element f-1 existieren, es muss also gelten \(f \circ f^{-1} = f^{-1}\circ f = Id\).
1. Lässt sich zeigen, indem man das ganze Elementweise betrachtet:
\(((f\circ g) \circ h)(x) =(f \circ g)(h(x)) = f(g(h(x)))\)
Ähnliche Umformungen mit \((f\circ (g \circ h))(x)\) zeigen, dass dabei auch f(g(h(x))) herauskommt. Daher sind die beiden Ausdrücke gleich. Da das für alle x gilt, ist also \(f \circ (g \circ h) = (f\circ g) \circ h\).
2. Das neutrale Element ist ja angegeben, nämlich Id. Die Frage, ob für jede bijektive Abbildung f nun gilt \((f \circ Id)(x) = f(x) = (Id \circ f)(x)\) für jedes x kannst du bestimmt selbst beantworten.
3. Das inverse Element zu einer Abbildung f ist die Umkehrabbildung. (Die Abbildung also, die jedes Bild-Element auf ihr Urbild abbildet.) Weil die Abbildungen in F alle bijektiv sind, existiert die tatsächlich für jedes f in F und ist automatisch auch selbst bijektiv, also auch in F enthalten.
Daher ist F mit der Verknüpfung "hintereinander ausführen" eine Gruppe.
Zu (ii) nehm' ich vorweg: Die Gruppe ist nicht kommutativ. Das können wir zeigen, indem wir für ein festes n zwei Abbildungen finden, deren Hintereinanderausführung ein reihenfolge-abhängiges Ergebnis liefert. Betrachte dafür zB. mit n=2 folgendes: f verschiebt um den Vektor (1, 2)T und g vertauscht die beiden Einträge des Urbildvektors. Überzeuge dich davon, dass beide Abbildungen bijektiv sind, und zeige dann, dass sie bzgl. Hintereinanderausführung nicht kommutieren.
Falls noch Fragen übrig sind oder du irgendwo noch nicht weiterkommst frag' gern nochmal nach! :)
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