Warum gibt der Tangens von 90 Grad unendlich?

Es ist $tan(90°) = \frac{sin(90°)}{cos(90°)} = \frac{1}{0}$.

Das ist natürlich "grenzwertmässig" zu verstehen, Grundsätzlich ist tan(90°) nicht definiert, aber es gilt

$lim_{\alpha \rightarrow 90°} tan(\alpha ) = \infty$, 

denn ein Bruch, dessen Zähler sich einer Zahl ungleich 0 nähert, während sich der Nenner an 0 annähert, geht selbst gegen unendlich.