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Danke!

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Deine Vermutung zu (i) stimmt. Zu prüfen ist a_n+1 < a_n für alle natürlichen Zahlen n. Das ist hier eigentlich klar, denn der Nenner wird mit steigendem n stets kleiner & der Zähler ist konstant. Man sieht's aber auch durch Rechnung:

\(\frac{2}{3+(n+1)^2} < \frac{2}{3+n^2} \ \ |\cdot beide \ Nenner \\ 2(3+n^2) < 2(3+(n+1)^2) \ \ \\ 6+2n^2 < 2n^2+4n+8 \ \ -2n^2-6 \\ 0 < 4n+2\)

Die letzte Ungleichung ist äquivalent zur ersten und offenbar korrekt für alle natürlichen Zahlen n. Damit sind wir fertig.

Die Folge ist außerdem beschränkt, denn jedes a_n ist als Bruch mit positivem Zähler und positivem Nenner positiv - daher ist a_n>0 für alle n -> von unten beschränkt.

Weil die Folge streng monoton fallend ist, ist sie aber auch durch a₁ von oben beschränkt und daher beschränkt.

Für die Folge der b_n kannst du die 3. binomische Formel aus der 8. Klasse (oderso? ist ja egal) ausnutzen:

\(b_n = \frac{1-n^2}{1+n} = \frac{(1-n)(1+n)}{1+n} = 1-n\)

Diese Folge ist ebenfalls monoton fallend, denn 1-(n+1) = -n < 1-n. Sie ist nach oben beschränkt, denn b_n<1 für alle n, sie ist aber nicht von unten beschränkt und daher nicht beschränkt. 

Für den Prozentsatz teilst du den Anteil durch die Gesamt-Menge und verschiebst das Komma danach um 2 Stellen nach rechts. Ein Beispiel: Wenn in einem Orchester mit 50 Musikanten vier Trompeter spielen, so sind das 4/50=0,08 = 8% des Orchesters.

Bei dir geht's also so: 24kg/25kg = 0,96 = 96%.

Du kannst das ganze auch als Bruch darstellen und so erweitern, dass der Nenner 100 ist. Dann ist der Zähler der gesuchte Prozentwert:

\(\frac{24kg}{25kg} = \frac{24\cdot4}{25\cdot4} = \frac{96}{100} = 96\%\)

Vielen Dank das war mir eine große Hilfe

Man soll den Prozentsatz p%  laut der Aufgabe auf zwei Arten lösen.

Hallo Gast!

1)

25kg               \(\widehat{=}\) 100%

0,25Kg           \(\widehat{=}\) 1%

24kg / 0,25kg \(\widehat{=}\) 96%

24kg sind 96% von 25kg.

2)

Die Hauptformel der Prozentrechnung  heißt:

\(\color{blue}P=\dfrac{G\cdot p}{100}\\\color{blue}Prozentwert =\ G rundwert\ \times Prozentsatz\div 100\)

Wir können diese Formel nach p umstellen:

\(P=\dfrac{G\cdot p}{100}\ |\ \times 100\\ P\cdot 100=G\cdot p\ |\ \div G\\ \dfrac{P\cdot 100}{G}=p\ oder\)

\(\color{blue}p=\dfrac{P\cdot 100}{G}\)

Wir setzen ein:

\(p=\dfrac{24kg\cdot 100}{25kg}=96\)

Der gesuchte Prozentsatz ist 96%.

3)

Ganz einfach ist es mit der Verhältnisgleichung:

\(25kg:24kg=100\%:p\ |\ Produkt\ Außenglieder= Produkt\ Innenglieder\\ p\cdot25kg=24kg\cdot 100\%\\ p=\dfrac{24kg\cdot 100\%}{25kg}=\color{blue}96\%\)

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Wir können's auch ohne Baumdiagramm machen, dann wird's etwas ausführlicher - ich mach's dir mal für BBB (also 3x blau) vor, dann schaffst dus für RRR bestimmt selbst. Anschließend musst du nur beide Wahrscheinlichkeiten zusammenzählen.

Für BBB gehen wir wie folgt vor: 

Beim ersten Ziehen gibt's wie oben schon beschrieben 9R und 3B. Zusammen sind's 12 Kugeln. Die Wahrscheinlichkeit für B beim ersten Zug ist also 3/12.

Beim zweiten Ziehen gibt's noch 9R, aber nur 2B. Zusammen sind das noch 11 Kugeln. Daher ist die Wahrscheinlichkeit für nochmal B nur noch 2/11.

Beim dritten&letzten Ziehen gibt's immer noch 9R, aber nur 1B. Zusammen sind's 10 Kugeln. Die Wahrscheinlichkeit für B ist daher 1/10.

Da alles hintereinander passiert, ist die Wahrscheinlichkeit für BBB 3/12*2/11*1/10 = 1/220 = 0,0045 = 0,45%.

Für RRR kannst du das gleiche machen, anschließend werden wie schon erwähnt nur noch beide Zwischenergebnisse addiert.

Ich hoff das macht's klarar ;)

So wirklich verstaden hab ich es noch nicht und das mit den Baumdiagramms hatten wir noch nicht. aber trotzdem vielen dank 

Erstelle dazu am besten zunächst ein Baumdiagramm und beschrifte es vollständig. Beachte: Da ohne Zurücklegen gezogen wird, ändern sich die Wahrscheinlichkeiten in jeder Stufe des Baumdiagramms. (ZB. ist die Wahrscheinlichkeit für R (rot) in der ersten Stufe 9/12, in der zweiten aber 8/11 oder 9/11, je nach dem ob R oder B gezogen wurde.)

Die Wahrscheinlichkeit, die du suchst, setzt sich zusammen aus zwei "Ast-Wahrscheinlichkeiten", nämlich dem Ast RRR und dem Ast BBB. Am Ende berechnest du also P=P(RRR)+P(BBB). Für die Ast-Wahrscheinlichkeiten werden die Wahrscheinlichkeiten an den einzelnen Abschnitten des Astes multipliziert. (Zur Kontrolle: Bei P(BBB) solltest du herausbekommen 3/12*2/11*1/10)

Ich hoff' das hilft, falls nicht frag' gern nochmal nach.

Das große Pi ist hier analog zum großen Sigma bei Summen als Zeichen für ein Produkt zu verstehen.

\(x=9 \cdot \Pi_{k=1}^{50} (2k-1)^2 = 9 \cdot (2\cdot1-1)^2 \cdot (2\cdot 2 -1)^2 \cdot (2\cdot 3-1)^2 \cdot ... \cdot (2 \cdot 50-1) = 9 \cdot 1^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot ... \cdot 99^2\)

Mit dem großen Pi wird dieses recht längliche Produkt kompakt zusammengefasst.

Was steht hinter der Gleichung \(x=9 \cdot \Pi_{k=1}^{50} (2k-1)^2 \)? Was bedeutet \( \Pi_{k=1}^{50} (2k-1)^2 \). Warum kommt Pi in die Rechnung? Danke für deine Erläuterung oben, sie ist nachvollziehbar . Aber die Gleichung ...?

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Danke! Schön, dass noch jemand daran denkt.

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Vielen Dank

\(\frac{3kg}{25kg} = 0,12 = 12\%\)

Dankeschön

6560g : 82% = 6560g : 0,82 = 8000g

Klar, es wird ja stündlich verzinst.

Hmm, ist das nicht unterjährig?

Die gesuchte Zahl ist \(x=9 \cdot \Pi_{k=1}^{50} (2k-1)^2\). Der Grund dafür ist folgender: Die geraden Zahlen kürzen sich alle weg, das Ergebnis ist eine ganze Zahl und muss eigentlich kein Bruch mehr sein. Das Ergebnis ist das Produkt aller Quadrate ungerader Zahlen. Nach Erweitern mit 9 hat man's dann als Bruch mit Nenner 9 geschrieben.

365Tage = 365*24h = 8760h.

0,0342 ‱ = 0,000342% -> Wachstumsfaktor 1,000342

-> 10000 * 1,000342⁸⁷⁶⁰ = 199935,12

Nach einem Jahr hat man so also knapp 200.000€ auf dem Konto.

Um 100.000€ zu erhalten ist folgende Rechnung nötig:

10000*1,000342^t = 100000   |:10000 

1,000342^t = 10   |log_1,000342 

t = log_1,000342(10) = 6733,85

-> Man müsste das Geld 6734h anlegen, um 100.000€ zu haben.

Für 1.000.000€ ist der Rechenweg der Gleiche, das schaffst du bestimmt. Wenn nicht frag' gern nochmal nach.

Also gut, ich meld' mich mal hier zurück im Dienst :D
 

Erstmal die 1 - um Gleichmächtigkeit von Mengen zu zeigen, bietet sich's an, eine Bijektion zwischen den Mengen anzugeben. In der a) könnte man das so machen:

f : M -> N : x -> 2x+2 für \(x \leq 0,5\) und x -> 2x+5 für x>0,5

Dass diese Abbildung eine Bijektion ist wäre noch nachzuweisen, das überlass ich dir.

Für b) würde ich ausnutzen, dass \(\mathbb{N} \times \mathbb{N}\) und \(\mathbb{N}\) gleichmächtig sind, dann reicht's nämlich, Gleichmächtigkeit von \(\mathbb{N}\) und der rechten Menge zu zeigen. Dabei ist die Bijektion quasi schon angegeben, nämlich

\(g:\mathbb{N} \rightarrow \{ k^2+k \ | \ k \in \mathbb{N} \} : k \mapsto k^2+k\)

So sehen wir, dass auch die natürlichen Zahlen und die rechte Menge gleichmächtig sind, und sind daher fertig. Auch hier ist noch zu zeigen, dass g eine Bijektion ist.
'

Der Multiplikant hinter dem Bruch    \(100!\approx 9,3326...\times 10^{157}\)

ist ausgeschrieben eine Zahl mit158 Ziffern. Denkst du dir solche Aufgaben selbst aus?

Wozu braucht man so etwas?

Es sieht in etwa so aus:

\((\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot ... \cdot 99}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot ... \cdot 100}) \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot 100 = \frac{x}{9}\) .

Danke für die schnelle Antwort !

a) Um wie viel % ist der Benzinpries vom vorigen Jahr zu diesem Jahr gestiegen ?

b) Wieviel % ist der Benzinpreis in den Autobähnen teurer als in der Stadt ?

Hallo Mathefreaker!

a)

\(1,709:1,259=(100\%+x):100\%\\ 100\%+x =\frac{170,9\%}{1,259}=135,7\%\\ \color{blue}x=35,7\%\)

Der Benzinpries ist vom vorigen Jahr zu diesem Jahr um 35,7% gestiegen.

b)

\(1,959:1,709=(100\%+x):100\%\\ 100\%+x=\frac{195,9\%}{1,709}=114,6\%\\ \color{blue}x=14,6\%\)

Der Benzinpreis ist an den Autobahnen 14,6% teuerer als in der Stadt.

*) Wieso ist an den Autobahnen das Benzin teurer?

Schwer zu sagen. Aus Sicht der FDP käme wahrscheinlich eine andere Antwort, als die aus Sicht der Linken. Wahrscheinlich hat  jeder dabei ein bisschen recht. Informiere dich, und finde selbst eine Antwort.

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