Gleichmächtigkeit & Asymptotisches Wachstum

Also gut, ich meld' mich mal hier zurück im Dienst :D
 

Erstmal die 1 - um Gleichmächtigkeit von Mengen zu zeigen, bietet sich's an, eine Bijektion zwischen den Mengen anzugeben. In der a) könnte man das so machen:

f : M -> N : x -> 2x+2 für $x \leq 0,5$ und x -> 2x+5 für x>0,5

Dass diese Abbildung eine Bijektion ist wäre noch nachzuweisen, das überlass ich dir.

Für b) würde ich ausnutzen, dass $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ und $\mathbb{N}$ gleichmächtig sind, dann reicht's nämlich, Gleichmächtigkeit von $\mathbb{N}$ und der rechten Menge zu zeigen. Dabei ist die Bijektion quasi schon angegeben, nämlich

$g:\mathbb{N} \rightarrow \{ k^2+k \ | \ k \in \mathbb{N} \} : k \mapsto k^2+k$

So sehen wir, dass auch die natürlichen Zahlen und die rechte Menge gleichmächtig sind, und sind daher fertig. Auch hier ist noch zu zeigen, dass g eine Bijektion ist.
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