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    \((i)\ a_n=(\frac{2}{3+n^2})\)            \( (ii)\ b_n=(\frac{1-n^2}{1+n})\)

Hallo,

ich sitze leider schon ein wenig länger an dieser aufgabe und komme nicht wirklich weiter..

bei (i) habe ich eine Vermutung aufgestellt und die ersten Folgeglieder a1-a5 ausgerechnet.

Vermutung ist daher dass sie streng monoton fallend ist. Also muss man mit einer Ungleichung

zeigen das \({a}_{n+1} < {a}_{n} \)für alle n Element N. Nun komme ich aber nicht so wirlich weiter mit 

der Ungleichung..

Bei (ii) müsste man auf \({b}_{n+1} > {b}_{n} \) überprüfen.

 

mfg 

Noob420

 04.01.2022
bearbeitet von noob420  04.01.2022
bearbeitet von asinus  05.01.2022
bearbeitet von asinus  05.01.2022
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avatar+3931 
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Deine Vermutung zu (i) stimmt. Zu prüfen ist an+1 < an für alle natürlichen Zahlen n. Das ist hier eigentlich klar, denn der Nenner wird mit steigendem n stets kleiner & der Zähler ist konstant. Man sieht's aber auch durch Rechnung:

\(\frac{2}{3+(n+1)^2} < \frac{2}{3+n^2} \ \ |\cdot beide \ Nenner \\ 2(3+n^2) < 2(3+(n+1)^2) \ \ \\ 6+2n^2 < 2n^2+4n+8 \ \ -2n^2-6 \\ 0 < 4n+2\)

 

Die letzte Ungleichung ist äquivalent zur ersten und offenbar korrekt für alle natürlichen Zahlen n. Damit sind wir fertig.

 

Die Folge ist außerdem beschränkt, denn jedes an ist als Bruch mit positivem Zähler und positivem Nenner positiv - daher ist an>0 für alle n -> von unten beschränkt.

Weil die Folge streng monoton fallend ist, ist sie aber auch durch a1 von oben beschränkt und daher beschränkt.

 

Für die Folge der bn kannst du die 3. binomische Formel aus der 8. Klasse (oderso? ist ja egal) ausnutzen:

\(b_n = \frac{1-n^2}{1+n} = \frac{(1-n)(1+n)}{1+n} = 1-n\)

Diese Folge ist ebenfalls monoton fallend, denn 1-(n+1) = -n < 1-n. Sie ist nach oben beschränkt, denn bn<1 für alle n, sie ist aber nicht von unten beschränkt und daher nicht beschränkt. 

 04.01.2022

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