Man stelle sich ein Bruch vor, deren Zähler alle ungeraden Zahlen bis 100 (die aneinanderstehenden Zahlen werden miteinander multipliziert) und es stehe im Nenner alle geraden Zahlen bis 101 (die aneinanderstehenden Zahlen werden miteinander multipliziert), und am Ende der Bruch multipliziert wird mit allen Zahlen von 1 nach 100. Schreibe deine Lösung als Bruch mit Nenner 9.
+14443 Hallo Gast!
Bitte beschreibe deine Aufgabe genauer. Mit was soll der eingangs beschriebene Bruch multipliziert werden? Ist es die Summe oder das Produkt von hundert Einzelbrüchen?
Es sieht in etwa so aus:
\((\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot ... \cdot 99}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot ... \cdot 100}) \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot 100 = \frac{x}{9}\) .
+14443 Der Multiplikant hinter dem Bruch \(100!\approx 9,3326...\times 10^{157}\)
ist ausgeschrieben eine Zahl mit158 Ziffern. Denkst du dir solche Aufgaben selbst aus?
Wozu braucht man so etwas?
+3976 Die gesuchte Zahl ist \(x=9 \cdot \Pi_{k=1}^{50} (2k-1)^2\). Der Grund dafür ist folgender: Die geraden Zahlen kürzen sich alle weg, das Ergebnis ist eine ganze Zahl und muss eigentlich kein Bruch mehr sein. Das Ergebnis ist das Produkt aller Quadrate ungerader Zahlen. Nach Erweitern mit 9 hat man's dann als Bruch mit Nenner 9 geschrieben.
+14443 Was steht hinter der Gleichung \(x=9 \cdot \Pi_{k=1}^{50} (2k-1)^2 \)? Was bedeutet \( \Pi_{k=1}^{50} (2k-1)^2 \). Warum kommt Pi in die Rechnung? Danke für deine Erläuterung oben, sie ist nachvollziehbar . Aber die Gleichung ...?
!
+3976 Das große Pi ist hier analog zum großen Sigma bei Summen als Zeichen für ein Produkt zu verstehen.
\(x=9 \cdot \Pi_{k=1}^{50} (2k-1)^2 = 9 \cdot (2\cdot1-1)^2 \cdot (2\cdot 2 -1)^2 \cdot (2\cdot 3-1)^2 \cdot ... \cdot (2 \cdot 50-1) = 9 \cdot 1^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot ... \cdot 99^2\)
Mit dem großen Pi wird dieses recht längliche Produkt kompakt zusammengefasst.
