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Die Quersumme einer Zahl ist die Summe ihrer Ziffern. Die Quersumme einer Zahl, die nur aus einer Ziffer besteht, ist daher stets die Ziffer selbst.

Der Quersume von 9 sei 9.

hab kein plan sorry

Falls dir diese Fragestellung übrigens in einer Vorlesung begegnet ist, die du im Rahmen eines nicht wirklich mathematischen Studiengangs hörst (zB. Wirtschaft), kann's gut sein, dass du da auch deutlich unpräziser argumentieren darfst. Falls das der Fall ist sag' Bescheid, dann kann ich eventuell einiges noch auf kompaktere und leichter verständlichere Erklärungen runterbrechen. Abseits der Mathematik-Departments wird mit dem Thema oft recht schlampig umgegangen, das kann dir einiges vereinfachen.

Nun zu den Aufgaben: Bei den Gegebenen Folgen kann man viel mit Intuition regeln würde ich sagen. Inwiefern die folgenden Argumentationen bei euch als Nachweis genügen ist aus der Ferne schwer zu beurteilen.

Ich fang mal mit (i) an:

Die Folge konvergiert, denn: Der erste Faktor der Folge konvergiert gegen 2, denn \((\frac{2}{3})^n\) konvergiert gegen 0. (letzteres müsste halt schon bekannt sein, zur Not lässt sich's aber gut mit der Definition des Grenzwerts nachweisen. Frag' da gern nochmal nach falls das unklar ist.) Der zweite Faktor konvergiert gegen 1, was man beispielsweise per L'Hospital zeigen kann, falls ihr den schon kennt. Alternativ ist (n+1)/n=1+1/n und 1/n konvergiert gegen 0. 

Und 2*1 ist 2, daher ist der Grenzwert dieser Folge 2.

(ii):

Klammert man in Zähler und Nenner jeweils n³ aus, erhält man \(\frac{n^3\cdot (4-\frac{(-1)^n}{n})}{n^3\cdot (2+\frac{5}{n^2})}\). Hier sehen wir: n³ können wir kürzen, in den Klammern geht alles außer 4 bzw. 2 gegen 0. Übrig bleibt also nur 4/2=2, das ist unser Grenzwert.

(iii):

Hier sind die Exponential-Teile in Zähler und Nenner die "dominanten" Terme. Man könnte auch hier mit L'Hospital arbeiten. Eventuell ist auch bekannt, dass die Polynom-Teile hier im Grenzwert weggelassen werden können. Der Grenzwert der gegebenen Folge ist dann gleich dem Grenzwert der Folge def. durch \(\hat{c}_n = -\frac{2^n}{5^n} = - ( \frac{2}{5})^n\), und der ist 0 weil 2/5<1 ist.

(iv):

Durch Ausklammern von n³ im Bruch wie bei (ii) kann gezeigt werden, dass der Bruch selbst eine Nullfolge (also eine Folge mit Grenzwert 0) ist. (Das schaffst du mittlerweile bestimmt selbst, wenn's nicht klappt frag nochmal ;) ) Der Faktor (-1)ⁿ lässt das Vorzeichen alternieren (also abwechselnd + & - ), hat aber auf den Betrag der Terme keinen Einfluss. Daher ändert er auch nichts daran, dass die Folge eine Nullfolge ist - der Grenzwert ist also 0.

Erstmal gibt's ein bisschen was allgemeines, danach kümmern wir uns um deine Aufgaben:

Was eine Folge ist, ist vermutlich noch klar - nämlich einfach unendlich viele Zahlen, die in einer bestimmten Reihenfolge sortiert sind. Man kann sich das auch als einen unendlich langen Vektor vorstellen.

So ist zB. die Folge definiert durch a_n = n einfach die Folge aller natürlichen Zahlen, denn a₁=1, a₂=2 usw.

Wenn diese Zahlen nun immer näher an einen bestimmten Wert kommen, so nennt man diesen Wert "Grenzwert" der Folge. Der ist zunächst so definiert:

\(G \ \ Grenzwert \ \ von \ \ (a_n)_{n\in \mathbb{N}} \ \Leftrightarrow \ \forall \epsilon \in \mathbb{R} \ \exists N \in \mathbb{N} : |a_n-G|<\epsilon \ wenn \ n>N\)

Das bedeutet in Worten: Egal wie klein ich die Grenze Epsilon wähle - es gibt immer eine natürliche Zahl N, sodass die Folgenglieder ab dem N-ten Folgenglied näher als Epsilon am Grenzwert dran sind.

Eine Folge ist konvergent, wenn sie einen Grenzwert hat. Die oben definierte Folge der natürlichen Zahlen zB. hat keinen Grenzwert. Die Folge definiert durch b_n=1/n dagegen hat einen Grenzwert, nämlich 0. Damit eine Folge konvergiert, muss sie ihren Grenzwert nicht zwingend erreichen, sie kann das aber tun. Man könnte zB. eine Folge definieren durch 

c₁=5; c₂=10; c₃=3; c_n=1 für alle Zahlen n>3

Diese Folge konvergiert gegen 1, denn sie ist ab dem vierten Folgenglied einfach konstant 1.

Konvergenz nachzuweisen kann schwierig sein, da gibt's allerhand Sätze, die hilfreich sein können. Vielleicht kannst du da auch mal in deinem Vorlesungs-Skript nachschauen, welche Werkzeuge ihr zur Verfügung habt.

Geht halt einfach wirklich nicht...

Wir können dir sicherlich bei den Aufgaben helfen. Dafür musst du uns allerdings mitteilen, wobei du Probleme hast. Unterschreiben können wir offenbar nichts.

Wenn man Null durch eine beliebige Zahl teilt, erhält man immer Null. Versucht man allerdings durch Null zu teilen, erhält man je nach Taschenrechner Meldungen wie 'NaN', 'nDef' oder einfach nur 'nicht definiert'. Aber warum?

Man kann sich dies ganz einfach mit einem Plätzchen vorstellen: wenn nichts mehr übrig ist, kann es auch nicht mehr geteilt werden. Division durch Null, ist allerdings komplizierter. Schauen wir deshalb an, was passiert, wenn wir unser Plätzchen in immer kleinere Stücke teilen, also uns immer weiter Null nähern:

1÷20,5

1÷11

1÷0,52

1÷0,254

1÷0,0520

1÷0,005200

1÷0,000110.000

1÷0,00001100.000

1÷0,0000011.000.000

1÷0,000000110.000.000

1÷0,00000001100.000.000 

1÷0,0000000011.000.000.000

1÷0,000000000110.000.000.000 

1÷0,00000000001100.000.000.000

1÷0,0000000000011.000.000.000.000

1÷0,000000000000110.000.000.000.000

Man sieht, je näher wir dem Teilen durch Null kommen, desto größer wird das Ergebnis der Division. Was bedeutet dies aber für das Teilen durch Null?

Wie wir wissen, ist die Division eng mit der Multiplikation verwandt. Wenn ich 1 durch 2 teile erhalte ich 0,5. Wenn ich 0,5 mal 2 nehme, erhalte ich wieder 1. Division und Multiplikation sind inverse Operationen, sie bewirken quasi das Gegenteil. Das Problem ist nur, wenn Teilen durch Null theoretisch möglich wäre und ich das Ergebnis wieder mal 0 nehmen würde, würde ich immer wieder 0 erhalten.

Der Grenzwert für das Teilen durch 0 sieht dann so aus:

Auch dies bestätigt, dass Teilen durch 0 nicht möglich ist. Je weiter wir uns Null nähern, desto größer wird der Quotient. Die Unendlichkeit ∞ ist keine Zahl. Wenn wir durch 0 teilen würden, und wir die Unendlichkeit als Ergebnis bekämen, könnten wir nicht das Ganze mit Multiplikation auf den Ausgangswert bringen.

Durch Teilen löst man Gleichungen der Form 

a*x=b

nach x auf. Durch 0 teilen würde Gleichungen der Form

0*x=b

lösen - für \(b \neq 0\) existiert aber keine Lösung. Daher sehen wir: Durch 0 zu teilen erzeugt Widersprüche!

Der Grund liegt eigentlich eher in der Definition von Körpern. Das ist aber leider kein Schulstoff, deswegen lass' ich's hier erstmal weg. Den genauen Beweis kannst du dir hier ansehen:

geht halt einfach nicht

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Teile dafür die Zahlen durcheinander und runde ab. (Falls eine ganze Zahl 'rauskommt musst du natürlich nichts mehr runden.) 

-4x*(-x)=4x².

Man kann das beispielsweise so sehen:

-4x*(-x) = -4*x*(-1)*x = -4*(-1)*x*x = 4*x*x = 4x²

It doesnt translate it in german. This page is in german! You can use an other page. Like the google calculator!

\(26 \cdot \frac{300ml}{200ml} = 39\) -> für 39 Anwendungen. 

Es ist darauf zu achten, dass die Einheiten zusammenpassen. Gegebenenfalls muss umgerechnet werden, bis das der Fall ist. Hier ist aber kein Umrechnen nötig.