Weil der Punkt Q auf der Funktion liegt, können wir seine Koordinaten wie folgt angeben:
Q(x|f(x)) = Q(x | -1/4x3+27/8)
Ich skizzier' mal, wie's grob aussieht - dann kann man sich auch ein bisschen vorstellen, was gleich passiert:
Wir sehen: Die Seiten des Rechtecks sind x und -1/4x3+27/8 lang. Daher ist der Flächeninhalt in Abhängigkeit von x:
\(A(x) = x\cdot (-\frac{1}{4}x^3+\frac{27}{8}) = -\frac{1}{4}x^4+\frac{27}{8}x\)
Wir suchen nun das Maximum dieser Funktion (also Hochpunkt-Buisness as usual). Das bedeutet: Ableiten, gleich 0 setzen, Vorzeichentabelle oder 2. Ableitung, fertig.
\(A'(x) = -x^3 + \frac{27}{8} =0 \\ x^3 = \frac{27}{8} \\ x = \frac{3}{2} = 1,5 \\ \ \\ A''(x) = -3x^2 \\ \rightarrow A''(1,5) = -6,75 <0 \Rightarrow Hochpunkt\)
Mit x=1,5 ist unser Flächeninhalt also maximal groß. Damit ist unser Punkt Q bei (x=1,5 einsetzen) Q(1,5 | 81/32) und der so entstehende Flächeninhalt ist A(1,5)=243/64.
Für den Umfang machen wir quasi das gleiche: Funktion aufstellen, Hochpunkt finden, fertig.
Der Umfang eines Rechtecks ist die Summe seiner Seitenlängen, die Seiten sind nach wie vor x und -1/4x3+27/8 lang:
\(U(x) = 2x + 2 \cdot ( - \frac{1}{4}x^3+\frac{27}{8} ) = - \frac{1}{2}x^3 +2x + \frac{27}{4} \\ \Rightarrow U'(x) = - 1,5x^2 +2 = 0\\ 1,5x^2 = 2 \\ x^2 = \frac{4}{3} \\ x = \frac{2}{\sqrt3} \ \ \ (und \ x_2=- \frac{2}{\sqrt3}) \\ U''(x) = -3x \Rightarrow U''(\frac{2}{\sqrt3} ) = -\frac{6}{\sqrt3} <0 \Rightarrow Hochpunkt\)
Wir stellen fest: der Umfang ist mit \(x=\frac{2}{\sqrt3}\) am größten. Das liefert den Punkt \(Q(\frac{2}{\sqrt3} | 2,99)\), der Umfang dazu ist dann \(U(\frac{2}{\sqrt3}) = 3,45\)
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