gegeben ist das Schaubild der Funktion f mit der Gleichung:
-1/4 x hoch 3 +27/8=f(x)
Q(u/v) und u > 0 und v > 0 ist ein punkt des Schaubildes F
a) bestimmen Sie u und v so, dass der Flächeninhalt des Rechtecks mit O(0/0), P(u/0), und R(0/v) maximal wird.
b) bestimmen Sie u und v so, dass der Umfang des in a) beschrieben Rechtecks maximal und minimal wird
Ich brauche dringend hilfe. Ich verstehe nicht wie ich den maximalen und minimalen Umfang und/oder Flächeninhalt berechne.
+3976 Weil der Punkt Q auf der Funktion liegt, können wir seine Koordinaten wie folgt angeben:
Q(x|f(x)) = Q(x | -1/4x3+27/8)
Ich skizzier' mal, wie's grob aussieht - dann kann man sich auch ein bisschen vorstellen, was gleich passiert:
Wir sehen: Die Seiten des Rechtecks sind x und -1/4x3+27/8 lang. Daher ist der Flächeninhalt in Abhängigkeit von x:
\(A(x) = x\cdot (-\frac{1}{4}x^3+\frac{27}{8}) = -\frac{1}{4}x^4+\frac{27}{8}x\)
Wir suchen nun das Maximum dieser Funktion (also Hochpunkt-Buisness as usual). Das bedeutet: Ableiten, gleich 0 setzen, Vorzeichentabelle oder 2. Ableitung, fertig.
\(A'(x) = -x^3 + \frac{27}{8} =0 \\ x^3 = \frac{27}{8} \\ x = \frac{3}{2} = 1,5 \\ \ \\ A''(x) = -3x^2 \\ \rightarrow A''(1,5) = -6,75 <0 \Rightarrow Hochpunkt\)
Mit x=1,5 ist unser Flächeninhalt also maximal groß. Damit ist unser Punkt Q bei (x=1,5 einsetzen) Q(1,5 | 81/32) und der so entstehende Flächeninhalt ist A(1,5)=243/64.
Für den Umfang machen wir quasi das gleiche: Funktion aufstellen, Hochpunkt finden, fertig.
Der Umfang eines Rechtecks ist die Summe seiner Seitenlängen, die Seiten sind nach wie vor x und -1/4x3+27/8 lang:
\(U(x) = 2x + 2 \cdot ( - \frac{1}{4}x^3+\frac{27}{8} ) = - \frac{1}{2}x^3 +2x + \frac{27}{4} \\ \Rightarrow U'(x) = - 1,5x^2 +2 = 0\\ 1,5x^2 = 2 \\ x^2 = \frac{4}{3} \\ x = \frac{2}{\sqrt3} \ \ \ (und \ x_2=- \frac{2}{\sqrt3}) \\ U''(x) = -3x \Rightarrow U''(\frac{2}{\sqrt3} ) = -\frac{6}{\sqrt3} <0 \Rightarrow Hochpunkt\)
Wir stellen fest: der Umfang ist mit \(x=\frac{2}{\sqrt3}\) am größten. Das liefert den Punkt \(Q(\frac{2}{\sqrt3} | 2,99)\), der Umfang dazu ist dann \(U(\frac{2}{\sqrt3}) = 3,45\)
Danke für die große Mühe und Hilfe!!
eine Frage hätte ich aber noch, wie rechnet man oder bzw. ermittelt man den minimalen Umfang? :/
+3976 Ah, ja, hatte ich übersehen. Die Koordinaten von Q sollen ja beide positiv sein, daher muss der x-Wert zwischen 0 und \(\frac{3}{^3\sqrt{2}}\) ( der Nullstelle der Funktion f) liegen.
Unsere Umfangsfunktion ist stetig und hat in diesem Bereich nur ein Extremum (welches wir ja schon gefunden haben). Das Minimum ist dann an einem der Ränder, also entweder für x=0 oder x=\(\frac{3}{^3\sqrt{2}}\). Setzen wir diese beiden x-Werte in unsere Umfangsfunktion ein, finden wir den Umfang 27/8 (für x=0) bzw. 7,14. Daher ist der kleinste Umfang 27/4, er wird erreicht mit x=0 (und somit Q(0 | 27/8) ).
Tatsächlich kann man da auch argumentieren, dass man den minimalen Umfang gar nicht bestimmen kann:
Für die oben angesprochenen x-Werte ist das Rechteck quasi nur ein Strich, weil eine Seitenlänge die Länge 0 hat. Ein Strich ist aber ja nicht wirklich ein Rechteck. Man könnte dann nur so nah wie möglich an diese beiden x-Werte herangehen, so grenzwert-mässig. Das führt dann schon auch zum Minimalumfang 27/8, aber eher als Grenzwert, der nie erreicht wird.
Zusammenfassend: Wir finden hier zwar einen Minimalumfang, ob der aber auch sinnvoll ist, darf jeder selbst entscheiden. Ich persönlich bin eher der Meinung, dass ein Strich eben einfach kein Rechteck ist und auch keinen Umfang hat. Der Aufgabensteller ist da scheinbar anderer Meinung.
