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Das mit \(f(- {b \over 2a})\) habe ich aus dem Theorieteil meines Buches abgeschrieben. Dachte es wäre eine alternative Formel um v zu berechnen aber vergessen wirs, wird wohl nicht benötigt.

Die Aufgabe steht über der Lösung, sie ergibt S=(2;-1)

Danke für die Bemühungen, ich mache Fortschritte in diesem Thread ist soweit alles geklärt

Danke, noch zum präzisieren:

1. nicht verschoben wäre die Parabel wenn der x-wert des Scheitelpunktes 0 wäre?

4. Parabel nach unten offen Maximum, Parabel nach oben offen Minimum?

Interessant, ich fand Mathe noch nie besonders spannend trotzdem sehr nett von euch, Menschen die Schwierigkeiten damit haben zuhelfen.

Die grafische Darstellung

Die Scheitelkoordinaten lassen sich aus der Grundform berechnen.

Kann mir bitte jemand die Legende vervollständigen?

\(p:y=f(x)=ax^2+bx+c \\S=(u;v)=(- {b \over 2a};c-{b^2 \over 4a})=(- {b \over 2a};{\color{BrickRed}f(-{b \over 2a})?^*})\\ \\ \\ \\p=Parabel \\S=Scheitelpunkt\ S(u;v) \\y=f(x)=ax^2+bx+c \\u=x-Wert\ Scheitelpunkt \\v=y-Wert\ Scheitelpunkt \\a=Koeffizient\ quadr.\ Glied \\b=Koeffizient\ lineares\ Glied \\c=absolutes\ Glied \)

\( ^*\ Was\ bedeutet\ das?{\color{BrickRed}f(-{b \over 2a})} \)

Bitte antworten.

\(a=1\\ b=-4\\ c=3\)

Aufgabe

\(f:y=x^2-4x+3 \)

\(S=( {4 \over 2};3-{(-4)^2\over 4})=(2;-1) \)

Warum spricht man von u und v anstelle x und y?

Warum kann man die Aufgabe nicht mit der Mitternachtsformel lösen?

Was ist überhaupt die Aufgabe?

u und v sind die Formelzeichen zur Errechnung der Scheitelpunktkoordinaten.

\(u=-\frac{b}{2a}\\ v=c-\frac{b^2}{4a}\)

Mit der Mitternachtsformel werden die Nullstellen der Funktion errechnet.

\(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)

\(x = {4 \pm \sqrt{4^2-4\cdot 1\cdot 3} \over 2\cdot 1}\\ x=\frac{4\pm\sqrt{16-12}}{2}\)

\(x_1=\frac{4+2}{2}\\ x_2=\frac{4-2}{2}\)

\(x_1=3\\ x_2=1\)

Ich hoffe ich konnte helfen!

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Bei der Beantwortung dieser Frage stürtzte das System mehrmals ab. Vielleicht gehts später.

Gruß

Welche Aussagen sind für den Graphen mit y=(x-4)²-3 richtig?

Hallo Mathefreund!

1.

\(\color{BrickRed}f_1(x)=(x-4)^2-3\\ Nullstellen:\\ x^2-8x+13=0\\ x=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}\\ x=4\pm\sqrt{16-13}\)

\( x_1=4+\sqrt{3}\\ x_2=4-\sqrt{3}\)

Ja. Der Graph ist eine verschobene Normalparabel.

2.

Die Parabel hat den Scheitelpunkt S(4;-3).

3.

Die Parabel verläuft nicht durch den Punkt P(0;0)

4.

Die Parabel hat kein Maximum.

Maximum und Minimum sind die Extrema der Funktion. In den Extrema ist die Tangente an den Graphen horizontal. Die erste Ableitung ist dort gleich Null. Beim Minimum sind in Richtung der Abszissenachse (x-Achse) alle Funktionswerte f(x) vor und hinter dem Minimum größer als der Minimumwert.

Habe ich es korrekt in den Rechner eingegeben?

\(f1(x)=(x-4)^2-3 \) aber im Buch steht \(y=(x-4)^2-3 \) ist das dasselbe?

Die Schreibweise \(f(x)=\ ...\) beschreibt die Funktion ohne Bezug auf ein Koordinatensystem.

Der Graph der Funktion wird gewöhnlich im rechtwinklichen Koordinatensystem mit x-Achse und y-Achse dargestellt. Die Werte auf der y-Achse entsprechen den f(x)-Werten.

Du hast es also korrekt eingegeben.

\(f1(x)=(x-4)^2-3\ ist\ das\ Gleiche\ wie\ y=(x-4)^2-3 \)

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\(f_4(n)=(n-1*10^n)\\f_5(n)=2^{n-1}*(2^n-1)\)

Sollen gemäss Lösungen auch keine Exponentialfunktionen sein?

Wir rechnen gerne in unserer Freizeit.

Kann man z.B. sagen dass, wenn der Funktionsname (Buchstabe in der ersten Klammer?) im Exponent steht, es eine Exponentialfunktion ist?

Hallo Mathefreund!

Ja, wenn die unabhängige Variable (die Variable in der Funktionsbezeichnung) ein Exponent oderTeil eines Exponenten ist, handelt es sich um eine Exponentialfunktion.

Keine Exponentialfunktionen in deiner Aufstellung sind:

\(f_1(x)\ und\ A(p) \)

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Hallo  Gast!

Du musst mit einer Frage formulieren, was du im einzelnen wissen möchtest.

Gruß

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Ok danke, mir leuchtet nur gerade nicht ein warum \(\sqrt{2} = {2 \over \sqrt{2}}\) habe es nachgerechnet gilt ja auch für andere Zahlen wie z.B. \(\sqrt{5} = {5 \over \sqrt{5}}\)  werde ich mir wohl einfach merken müssen

Wow vielen Dank

Potenz- und Winkelfunktionen

Mit Wurzelfunktionen:

\(\begin{array}{|rcll|} \hline d^2 &=& a^2+x^2 \quad | \quad (\text{nehme beide Seiten hoch } \dfrac{3}{2}) \\ \Big(d^2\Big)^{\dfrac{3}{2}} &=& \Big(a^2+x^2\Big)^{\dfrac{3}{2}} \\ \Big(d \Big)^{2\dfrac{3}{2}} &=& \Big(a^2+x^2\Big)^{\dfrac{3}{2}} \\ \mathbf{ d^3 } &=& \mathbf{\Big(a^2+x^2\Big)^{\dfrac{3}{2}} } \\ \hline \end{array} \)

Ersetzen von d durch die Wurzelfunktion:

\(\begin{array}{|rcll|} \hline \mathbf{I} &=& \mathbf{\dfrac{x}{d^3}} \\ \hline I &=& \dfrac{x}{\Big(a^2+x^2\Big)^{\dfrac{3}{2}}} \\\\ \mathbf{I} &=& \mathbf{x\Big(a^2+x^2\Big)^{-\dfrac{3}{2}} } \\ \hline \end{array}\)

\(\mathbf{ I_{\text{max}}=\ ? }\)
Die Ableitung nach x wird 0 gesetzt:

\(\begin{array}{|rcll|} \hline \dfrac{d\ I}{d\ x} &=& 1*\Big(a^2+x^2\Big)^{-\dfrac{3}{2}}+x\left(-\dfrac{3}{2}\right)\Big(a^2+x^2\Big)^{-\dfrac{3}{2}-1}*2x \\ \dfrac{d\ I}{d\ x} &=& \Big(a^2+x^2\Big)^{-\dfrac{3}{2}}-3x^2\Big(a^2+x^2\Big)^{-\dfrac{3}{2}-1} \\ \dfrac{d\ I}{d\ x} &=& \Big(a^2+x^2\Big)^{-\dfrac{3}{2}} -3x^2\Big(a^2+x^2\Big)^{-\dfrac{3}{2}}\Big(a^2+x^2\Big)^{-1} \\\\ && \boxed{\dfrac{d\ I}{d\ \alpha} = 0} \\\\ 0 &=& \Big(a^2+x^2\Big)^{-\dfrac{3}{2}} -3x^2\Big(a^2+x^2\Big)^{-\dfrac{3}{2}}\Big(a^2+x^2\Big)^{-1} \\ 3x^2\Big(a^2+x^2\Big)^{-\dfrac{3}{2}}\Big(a^2+x^2\Big)^{-1} &=& \Big(a^2+x^2\Big)^{-\dfrac{3}{2}} \quad | \quad : \Big(a^2+x^2\Big)^{-\dfrac{3}{2}} \\ 3x^2 \Big(a^2+x^2\Big)^{-1} &=& 1 \quad | \quad * \Big(a^2+x^2\Big)^{1} \\ 3x^2 &=& \Big(a^2+x^2\Big)^{1} \\ 3x^2 &=& a^2+x^2 \quad | \quad - x^2 \\ 2x^2 &=& a^2 \quad | \quad (\text{auf beiden Seiten die Wurzel ziehen}) \\ \sqrt{2}x &=& a \quad | \quad * \sqrt{2} \\ 2x &=& a\sqrt{2} \quad | \quad : 2 \\ x &=& a\dfrac{\sqrt{2}} {2} \quad | \quad a = 8 \\ x &=& 8\dfrac{\sqrt{2}} {2} \\ \mathbf{x} &=& \mathbf{4 \sqrt{2}} \\ \hline \end{array}\)

I hat ein Maximum an der Stelle  \(\mathbf{4\sqrt{2}}\)

Potenz- und Winkelfunktionen

\(I=\frac{kx}{d^3}\)

\(d=\sqrt{a^2+x^2}\)

\(I=\frac{kx}{(a^2+x^2)^{\frac{3}{2}}}\)

\(I=kx\cdot (a^2+x^2)^{-\frac{3}{2}}\\ \frac{dI}{dx}=u'v-uv'\\ u=kx\\ u'=k\)

\(v=(a^2+x^2)^{-\frac{3}{2}}\\ v'=2x\cdot (a^2+x^2)^{-\frac{5}{2}}\)

\(\frac{dI}{dx}=k\cdot (a^2+x^2)^{-\frac{3}{2}}-kx \cdot 2x\cdot (a^2+x^2)^{-\frac{5}{2}}=0\\ \frac{dI}{dx}=k \cdot ((a^2+x^2)^{-\frac{3}{2}}- 2x^3\cdot (a^2+x^2)^{-\frac{5}{2}})=0 \)

Pause.

Sorry! Bin auf dem Holzweg gewesen.

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Potenz- und Winkelfunktionen

Wenn es sich um eine Extremwertaufgabe handelt, dann ist die Lösung  folgende:

Mit Winkelfunktionen:

\(\begin{array}{|lrcll|} \hline (1)& \tan(\alpha) &=& \dfrac{x}{a} \\ \text{ oder } & x&=&a\tan(\alpha) \\ \hline (2)& \cos(\alpha) &=& \dfrac{a}{d} \\ \text{ oder } & d&=& \dfrac{a}{\cos(\alpha)} \\ \hline \end{array}\)

Ersetzen von x und d durch die Winkelfunktionen:

\(\begin{array}{|rcll|} \hline \mathbf{I} &=& \mathbf{\dfrac{x}{d^3}} \\ \hline I &=& \dfrac{a\tan(\alpha)}{\left( \dfrac{a}{\cos(\alpha)} \right)^3} \\\\ I &=& \dfrac{a\tan(\alpha)}{\left( \dfrac{a^3}{\cos^3(\alpha)}\right) } \\\\ I &=& \dfrac{a\tan(\alpha)\cos^3(\alpha)}{a^3} \\\\ I &=& \dfrac{ \tan(\alpha)\cos^3(\alpha)}{a^2} \\ \\ I &=& \dfrac{1}{a^2}\dfrac{ \sin(\alpha)\cos^3(\alpha)}{\cos(\alpha)} \\ \\ \mathbf{I} &=& \mathbf{\dfrac{1}{a^2} \sin(\alpha)\cos^2(\alpha) } \\ \hline \end{array} \)

\(\mathbf{ I_{\text{max}}=\ ? }\)

Die Ableitung nach \(\alpha\) wird 0 gesetzt:

\(\begin{array}{|rcll|} \hline \dfrac{d\ I}{d\ \alpha} &=& \dfrac{1}{a^2} \left[ \sin(\alpha)* 2 *\cos(\alpha)(-\sin(\alpha)) +\cos(\alpha)\cos^2(\alpha) \right] \\ \dfrac{d\ I}{d\ \alpha} &=& \dfrac{1}{a^2} \left[ \cos^3(\alpha)- 2\sin^2(\alpha)\cos(\alpha) \right] \\\\ && \boxed{\dfrac{d\ I}{d\ \alpha} = 0} \\\\ \dfrac{1}{a^2} \left[ \cos^3(\alpha)- 2\sin^2(\alpha)\cos(\alpha) \right] &=& 0 \quad | \quad *a^2\\ \cos^3(\alpha)- 2\sin^2(\alpha)\cos(\alpha)&=& 0 \\ \mathbf{\cos(\alpha) \left[\cos^2(\alpha)- 2\sin^2(\alpha) \right] }&=& \mathbf{0} \\ \underbrace{\cos(\alpha)}_{\neq 0,\ (\alpha \neq 90^\circ)} \left[\underbrace{\cos^2(\alpha)- 2\sin^2(\alpha)}_{=0} \right]&=& 0 \\\\ \cos^2(\alpha)- 2\sin^2(\alpha) &=& 0 \\ 2\sin^2(\alpha) &=& \cos^2(\alpha)\quad | \quad : \cos^2(\alpha) \\ \\ 2\tan^2(\alpha) &=& 1 \\ \tan^2(\alpha) &=& \dfrac{1}{2} \\ \tan (\alpha) &=& \dfrac{1}{\sqrt{2}} * \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\ \mathbf{\tan (\alpha)} &=& \mathbf{\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \qquad (\alpha =35.2643896828\ldots ^\circ ) \\ \hline \end{array}\)

I hat ein Maximum an der Stelle \(x =a\tan(\alpha)\)

\(\begin{array}{|rcll|} \hline x &=& a\tan(\alpha) \\ x &=& 8\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ \mathbf{x} &=& \mathbf{4\sqrt{2}} \\ \hline \end{array}\)

I hat ein Maximum an der Stelle  \(\mathbf{x=4\sqrt{2}}\)

\({4 \over (x+3)^2}-2=0 \\ {4 \over (x+3)^2}=2 \\ {2 \over x+3}=\sqrt2 \\ x+3={2 \over\sqrt2} \\ x={2 \over\sqrt2}-3\\ \color{blue}alles\ richtig\\ \color{blue} x= \sqrt{2}-3\)

Probe:

\({4 \over (x+3)^2}-2=0 \\ {4 \over ( {\color{blue}\sqrt{2}-3}+3)^2}-2=0 \\ \)

\(\frac{4}{(\sqrt{2})^2}-2=0\\ \frac{4}{2}-2=0\\ 2-2=0\)

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\({4 \over (x+3)^2}-2=0 \\ {4 \over (x+3)^2}=2 \\ {2 \over x+3}=\sqrt2 \\ x+3={2 \over\sqrt2} \\ x={2 \over\sqrt2}-3\)

OK, danke und was stimmt hier nicht? Ich weiss dass die Lösung falsch ist

edit: so darf man nicht Wurzeln ziehen, rechne das morgen nochmals nach

edit2: hat sich erledigt, weiss Bescheid

Verstehe leider den 2. Schritt nicht, warum hier nicht beide Seiten multiplizieren mit (x+2)?

Hallo Gast!

Um die Gleichheit zu erhalten, lässt man auf beiden Seiten der Gleichung Gleiches geschehen.

Zum Beispiel mit (x+2) multiplizieren. Oder den Kehrwert von beiden Seiten bilden. Oder beide Seiten zum Quadrat erheben. Man hat die Wahl und sucht sich das für die Lösung Nützlichste raus. Du hast damit recht, dass mit (x+2) multiplizieren auch schnell zur Lösung geführt hätte.

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und woher weiss man das y=0 ist?

Hallo Mathefreund!

An den Nullstellen einer Funktion ist der Funktionswert f(x) gleich Null, also y = 0.

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und woher weiss man das y=0 ist?

Danke! Verstehe leider den 2. Schritt nicht, warum hier nicht beide Seiten multiplizieren mit (x+2)?

Bestimme die Nullstellen der Hyperbel:

\(y=(x+2)^{-1}-3 \)

\(\frac{1}{x+2}-3=0\)     |+3

\(\frac{1}{x+2}=3\)            | Die Kehrwerte sind gleich

\(x+2=\frac{1}{3}\)         |-2

\(x=\frac{1}{3}-2\)         | subtrahieren

\(x=-\frac{5}{3}\)

Die Funktion   \(y=(x+2)^{-1}-3 \)   hat bei   \(x=-\frac{5}{3}\)   eine Nullstelle.

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I did not mean it was a simple question.

I did not think it was simple at all.

I just meant that 3*5=15 seemed very coincidental.  I was not completely sure if my answer was correct.

Hallo Melody,

Danke für die Antwort! Ja, es ist eine einfache Frage.

Bei der Floßfahrt treibt das Floß ohne Eigenantrieb mit der Strömung nach Landau.
Thanks for the answer! Yes, it is a simple question.
During the raft trip, the raft without propulsion drives with the flow to Landau.

\(s- Strecke\ Landshut - Landau\)
\(v_M- Geschwindigkeit\ des\ Motorbootes\)

\(v_S- Str\ddot omungsgeschwindigkeit\)

\(s=3(v_M+v_s)=5(v_M-v_s)\\ 3v_M+3v_S=5v_M-5v_S\\ 8v_S=2v_M\\ 4v_S=v_M\)

\(s=3h\cdot (v_M+v_S)=3h\cdot (4v_S+v_s)=3h\cdot 5v_S\\ \color{blue} s=15h\cdot v_S\)

\(Das\ mit\ der\ Str\ddot omung\ treibende\ Floß\ braucht \\ \color{blue}15\ Stunden\ von\ Landshut\ nach\ Landau.\)

The floating raft takes 15 hours from Landshut to Landau.

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