Potenz- und Winkelfunktionen

Potenz- und Winkelfunktionen

Wenn es sich um eine Extremwertaufgabe handelt, dann ist die Lösung  folgende:

Mit Winkelfunktionen:

\(\begin{array}{|lrcll|} \hline (1)& \tan(\alpha) &=& \dfrac{x}{a} \\ \text{ oder } & x&=&a\tan(\alpha) \\ \hline (2)& \cos(\alpha) &=& \dfrac{a}{d} \\ \text{ oder } & d&=& \dfrac{a}{\cos(\alpha)} \\ \hline \end{array}\)

Ersetzen von x und d durch die Winkelfunktionen:

\(\begin{array}{|rcll|} \hline \mathbf{I} &=& \mathbf{\dfrac{x}{d^3}} \\ \hline I &=& \dfrac{a\tan(\alpha)}{\left( \dfrac{a}{\cos(\alpha)} \right)^3} \\\\ I &=& \dfrac{a\tan(\alpha)}{\left( \dfrac{a^3}{\cos^3(\alpha)}\right) } \\\\ I &=& \dfrac{a\tan(\alpha)\cos^3(\alpha)}{a^3} \\\\ I &=& \dfrac{ \tan(\alpha)\cos^3(\alpha)}{a^2} \\ \\ I &=& \dfrac{1}{a^2}\dfrac{ \sin(\alpha)\cos^3(\alpha)}{\cos(\alpha)} \\ \\ \mathbf{I} &=& \mathbf{\dfrac{1}{a^2} \sin(\alpha)\cos^2(\alpha) } \\ \hline \end{array} \)

\(\mathbf{ I_{\text{max}}=\ ? }\)

Die Ableitung nach \(\alpha\) wird 0 gesetzt:

\(\begin{array}{|rcll|} \hline \dfrac{d\ I}{d\ \alpha} &=& \dfrac{1}{a^2} \left[ \sin(\alpha)* 2 *\cos(\alpha)(-\sin(\alpha)) +\cos(\alpha)\cos^2(\alpha) \right] \\ \dfrac{d\ I}{d\ \alpha} &=& \dfrac{1}{a^2} \left[ \cos^3(\alpha)- 2\sin^2(\alpha)\cos(\alpha) \right] \\\\ && \boxed{\dfrac{d\ I}{d\ \alpha} = 0} \\\\ \dfrac{1}{a^2} \left[ \cos^3(\alpha)- 2\sin^2(\alpha)\cos(\alpha) \right] &=& 0 \quad | \quad *a^2\\ \cos^3(\alpha)- 2\sin^2(\alpha)\cos(\alpha)&=& 0 \\ \mathbf{\cos(\alpha) \left[\cos^2(\alpha)- 2\sin^2(\alpha) \right] }&=& \mathbf{0} \\ \underbrace{\cos(\alpha)}_{\neq 0,\ (\alpha \neq 90^\circ)} \left[\underbrace{\cos^2(\alpha)- 2\sin^2(\alpha)}_{=0} \right]&=& 0 \\\\ \cos^2(\alpha)- 2\sin^2(\alpha) &=& 0 \\ 2\sin^2(\alpha) &=& \cos^2(\alpha)\quad | \quad : \cos^2(\alpha) \\ \\ 2\tan^2(\alpha) &=& 1 \\ \tan^2(\alpha) &=& \dfrac{1}{2} \\ \tan (\alpha) &=& \dfrac{1}{\sqrt{2}} * \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\ \mathbf{\tan (\alpha)} &=& \mathbf{\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \qquad (\alpha =35.2643896828\ldots ^\circ ) \\ \hline \end{array}\)

I hat ein Maximum an der Stelle \(x =a\tan(\alpha)\)

\(\begin{array}{|rcll|} \hline x &=& a\tan(\alpha) \\ x &=& 8\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ \mathbf{x} &=& \mathbf{4\sqrt{2}} \\ \hline \end{array}\)

I hat ein Maximum an der Stelle  \(\mathbf{x=4\sqrt{2}}\)

Potenz- und Winkelfunktionen

\(I=\frac{kx}{d^3}\)

\(d=\sqrt{a^2+x^2}\)

\(I=\frac{kx}{(a^2+x^2)^{\frac{3}{2}}}\)

\(I=kx\cdot (a^2+x^2)^{-\frac{3}{2}}\\ \frac{dI}{dx}=u'v-uv'\\ u=kx\\ u'=k\)

\(v=(a^2+x^2)^{-\frac{3}{2}}\\ v'=2x\cdot (a^2+x^2)^{-\frac{5}{2}}\)

\(\frac{dI}{dx}=k\cdot (a^2+x^2)^{-\frac{3}{2}}-kx \cdot 2x\cdot (a^2+x^2)^{-\frac{5}{2}}=0\\ \frac{dI}{dx}=k \cdot ((a^2+x^2)^{-\frac{3}{2}}- 2x^3\cdot (a^2+x^2)^{-\frac{5}{2}})=0 \)

Pause.

Sorry! Bin auf dem Holzweg gewesen.

  !

Potenz- und Winkelfunktionen

Mit Wurzelfunktionen:

\(\begin{array}{|rcll|} \hline d^2 &=& a^2+x^2 \quad | \quad (\text{nehme beide Seiten hoch } \dfrac{3}{2}) \\ \Big(d^2\Big)^{\dfrac{3}{2}} &=& \Big(a^2+x^2\Big)^{\dfrac{3}{2}} \\ \Big(d \Big)^{2\dfrac{3}{2}} &=& \Big(a^2+x^2\Big)^{\dfrac{3}{2}} \\ \mathbf{ d^3 } &=& \mathbf{\Big(a^2+x^2\Big)^{\dfrac{3}{2}} } \\ \hline \end{array} \)

Ersetzen von d durch die Wurzelfunktion:

\(\begin{array}{|rcll|} \hline \mathbf{I} &=& \mathbf{\dfrac{x}{d^3}} \\ \hline I &=& \dfrac{x}{\Big(a^2+x^2\Big)^{\dfrac{3}{2}}} \\\\ \mathbf{I} &=& \mathbf{x\Big(a^2+x^2\Big)^{-\dfrac{3}{2}} } \\ \hline \end{array}\)

\(\mathbf{ I_{\text{max}}=\ ? }\)
Die Ableitung nach x wird 0 gesetzt:

\(\begin{array}{|rcll|} \hline \dfrac{d\ I}{d\ x} &=& 1*\Big(a^2+x^2\Big)^{-\dfrac{3}{2}}+x\left(-\dfrac{3}{2}\right)\Big(a^2+x^2\Big)^{-\dfrac{3}{2}-1}*2x \\ \dfrac{d\ I}{d\ x} &=& \Big(a^2+x^2\Big)^{-\dfrac{3}{2}}-3x^2\Big(a^2+x^2\Big)^{-\dfrac{3}{2}-1} \\ \dfrac{d\ I}{d\ x} &=& \Big(a^2+x^2\Big)^{-\dfrac{3}{2}} -3x^2\Big(a^2+x^2\Big)^{-\dfrac{3}{2}}\Big(a^2+x^2\Big)^{-1} \\\\ && \boxed{\dfrac{d\ I}{d\ \alpha} = 0} \\\\ 0 &=& \Big(a^2+x^2\Big)^{-\dfrac{3}{2}} -3x^2\Big(a^2+x^2\Big)^{-\dfrac{3}{2}}\Big(a^2+x^2\Big)^{-1} \\ 3x^2\Big(a^2+x^2\Big)^{-\dfrac{3}{2}}\Big(a^2+x^2\Big)^{-1} &=& \Big(a^2+x^2\Big)^{-\dfrac{3}{2}} \quad | \quad : \Big(a^2+x^2\Big)^{-\dfrac{3}{2}} \\ 3x^2 \Big(a^2+x^2\Big)^{-1} &=& 1 \quad | \quad * \Big(a^2+x^2\Big)^{1} \\ 3x^2 &=& \Big(a^2+x^2\Big)^{1} \\ 3x^2 &=& a^2+x^2 \quad | \quad - x^2 \\ 2x^2 &=& a^2 \quad | \quad (\text{auf beiden Seiten die Wurzel ziehen}) \\ \sqrt{2}x &=& a \quad | \quad * \sqrt{2} \\ 2x &=& a\sqrt{2} \quad | \quad : 2 \\ x &=& a\dfrac{\sqrt{2}} {2} \quad | \quad a = 8 \\ x &=& 8\dfrac{\sqrt{2}} {2} \\ \mathbf{x} &=& \mathbf{4 \sqrt{2}} \\ \hline \end{array}\)

I hat ein Maximum an der Stelle  \(\mathbf{4\sqrt{2}}\)

Wow vielen Dank