Polstellen

Hat die Funktion x-4/x² irgendwelche Polstellen?

Hallo Gast!

\(f(x)=x-\frac{4}{x^2}\)

1. Die Funktion hat eine Extremstelle.

\(f(x)=x-\frac{4}{x^2}=x-4\cdot x^{-2}\\ f'(x)=1-4\cdot (-2x^{-3})\\ \color{BrickRed}An\ Extremstellen\ ist\ die\ erste\ Ableitung\ Null.\\ \color{blue}f'(x)=1+8x^{-3}=0\\ 1=-\frac{8}{x^3}\\ x^3=-8\\ \color{blue}x_{ex}=-2\)

\(y_{ex}{\color{black}=f(-2)=-2-\frac{4}{(-2)^2}=-2-1}=-3\)

Ist f''(x) an der Stelle \(x_{ex} \) 

positiv, so ist das Extremum ein Minimum,

ist es negativ, so handelt es sich um ein Maximum.

\({\color{blue}f''(x)=}8\cdot (-3x^{-4})\color{blue}=-\frac{24}{x^4}\\ {\color{blue}f''(x_{ex})=}-\frac{24}{(-2)^4}=\frac{24}{16}\color{blue }=-1,5\)

\(f''(x_{ex})\ ist\ negativ. \\ Das\ bedeutet:\ Der\ Extrempunkt\ ist\ ein\ Maximum.\)

\(\large P_{max}(-2\ |-3)\)

2. Die Funktion hat eine Nullstelle.

\(f(x)=x-\frac{4}{x^2}=x-4\cdot x^{-2}\)

\(x-\frac{4}{x^2}=0\\ \frac{x^3-4}{x^2}=0\\ x^3-4=0\\ x^3=4\\ x=\sqrt[3]{4}\)

\(\large x_0=1,5874..\)

3. Die Funktion hat eine Polstelle bei \(x_p=0\)

\(\color{blue}f(x)=x-\frac{4}{x^2} \)

\(f(x)=\frac{x^3-4}{x^2} \) 

Eine gebrochenrationale Funktion hat eine Polstelle,

wenn der {Divident des Bruches} \(\in \mathbb{R}\)  und der Divisor Null ist.

\(f(x_p)=\frac{x_p^3-4}{x_p^2}\\ x_p^2=0\\ x_p= \sqrt{0}\)

\(\large x_p=0\)                                 

\(f(x_p)=\frac{x_p^3-4}{x_p^2}= \frac{0^3-4}{0^2}=-\frac{4}{0}=-\infty \)

\(\large f(x_p)=-\infty \)

Gruß

  !

Was soll gelten? Rot oder blau?

Hallo Gast,

danke für dein Dankeschön und für die Richtigstellung !

Also

\(f(x)=\frac{x-4}{x^2 }\)

1. Nullstellen

\(f(x_0)=\frac{x_0-4}{x_0^2}=0\\ x_0-4=0\)

\(\large x_0=4\)

2. Polstellen

\(Divident=x_{pol}^2=0\\ x_{pol}=\sqrt{0}=0\)

\(\large x_{pol}=0\)

\(f(x_{pol})=y_{pol}=\frac{x_{pol}-4}{x_{pol}^2}=\frac{0-4}{0^2}=\frac{-4}{0}=-\infty \)

\(\large y_{pol}=-\infty \)

3. Extrema

\(f(x)=(x-4)\cdot x^{-2}\\ f(x)=x^{-1}-4x^{-2}\)

\(f'(x)=[-1\cdot x^{-2}]-[-8\cdot x^{-3}]\)

\(f'(x)=-\frac{1}{x^2}+\frac{8}{x^3}\\ \color{blue} f'(x)=\frac{-x^3+8x^2}{x^5}=0\\ \)

\(\large x_{max}=8\)

Die Funktion hat ein Maximum bei x_max = 8.

\(\large y_{max}=0,0625\)

Grüße

  !