Polstellen

Hat die Funktion x-4/x² irgendwelche Polstellen?

Hallo Gast!

$f(x)=x-\frac{4}{x^2}$

1. Die Funktion hat eine Extremstelle.

$f(x)=x-\frac{4}{x^2}=x-4\cdot x^{-2}\\ f'(x)=1-4\cdot (-2x^{-3})\\ \color{BrickRed}An\ Extremstellen\ ist\ die\ erste\ Ableitung\ Null.\\ \color{blue}f'(x)=1+8x^{-3}=0\\ 1=-\frac{8}{x^3}\\ x^3=-8\\ \color{blue}x_{ex}=-2$

$y_{ex}{\color{black}=f(-2)=-2-\frac{4}{(-2)^2}=-2-1}=-3$

Ist f''(x) an der Stelle $x_{ex}$ 

positiv, so ist das Extremum ein Minimum,

ist es negativ, so handelt es sich um ein Maximum.

${\color{blue}f''(x)=}8\cdot (-3x^{-4})\color{blue}=-\frac{24}{x^4}\\ {\color{blue}f''(x_{ex})=}-\frac{24}{(-2)^4}=\frac{24}{16}\color{blue }=-1,5$

$f''(x_{ex})\ ist\ negativ. \\ Das\ bedeutet:\ Der\ Extrempunkt\ ist\ ein\ Maximum.$

$\large P_{max}(-2\ |-3)$

2. Die Funktion hat eine Nullstelle.

$f(x)=x-\frac{4}{x^2}=x-4\cdot x^{-2}$

$x-\frac{4}{x^2}=0\\ \frac{x^3-4}{x^2}=0\\ x^3-4=0\\ x^3=4\\ x=\sqrt[3]{4}$

$\large x_0=1,5874..$

3. Die Funktion hat eine Polstelle bei $x_p=0$

$\color{blue}f(x)=x-\frac{4}{x^2}$

$f(x)=\frac{x^3-4}{x^2}$ 

Eine gebrochenrationale Funktion hat eine Polstelle,

wenn der {Divident des Bruches} $\in \mathbb{R}$  und der Divisor Null ist.

$f(x_p)=\frac{x_p^3-4}{x_p^2}\\ x_p^2=0\\ x_p= \sqrt{0}$

$\large x_p=0$                                 

$f(x_p)=\frac{x_p^3-4}{x_p^2}= \frac{0^3-4}{0^2}=-\frac{4}{0}=-\infty$

$\large f(x_p)=-\infty$

Gruß

  !

Was soll gelten? Rot oder blau?

Hallo Gast,

danke für dein Dankeschön und für die Richtigstellung !

Also

$f(x)=\frac{x-4}{x^2 }$

1. Nullstellen

$f(x_0)=\frac{x_0-4}{x_0^2}=0\\ x_0-4=0$

$\large x_0=4$

2. Polstellen

$Divident=x_{pol}^2=0\\ x_{pol}=\sqrt{0}=0$

$\large x_{pol}=0$

$f(x_{pol})=y_{pol}=\frac{x_{pol}-4}{x_{pol}^2}=\frac{0-4}{0^2}=\frac{-4}{0}=-\infty$

$\large y_{pol}=-\infty$

3. Extrema

$f(x)=(x-4)\cdot x^{-2}\\ f(x)=x^{-1}-4x^{-2}$

$f'(x)=[-1\cdot x^{-2}]-[-8\cdot x^{-3}]$

$f'(x)=-\frac{1}{x^2}+\frac{8}{x^3}\\ \color{blue} f'(x)=\frac{-x^3+8x^2}{x^5}=0\\ $

$\large x_{max}=8$

Die Funktion hat ein Maximum bei x_max = 8.

$\large y_{max}=0,0625$

Grüße

  !