+0  
 
+1
248
3
avatar

\((a+b)^n>=a^n+b^n\)

 

Ich habe probleme den Induktionschritt n+1 anzuwenden. Kann mir jemand helfen?

Guest 11.02.2018

Beste Antwort 

 #2
avatar+19207 
+2

Vollständige Induktion

\(\large{(a+b)^n\ge a^n+b^n} \)

Ich habe probleme den Induktionschritt n+1 anzuwenden. Kann mir jemand helfen?

 

Induktionsanfang:
\(n = 1: \)  linke Seite: \((a+b)^1 = a+b\)
               rechte Seite: \(a^1+b^1 = a+b\)
Für \(n=1\) sind beide Seiten gleich und die Aussage ist wahr!

 

Die Induktionsannahme \((I.A.)\) lautet:

 \((a + b)^n \ge a^n + b^n\)

 

Induktionsschluss:

\(\begin{array}{|lrcll|} \hline n+1:\\ \text{linke Seite:} \\ && & (a+b)^{n+1} \\ &&=& (a+b)^n(a+b)^1 \\ &&=& (a+b)(a+b)^n \\ &&\overset{I.A.}{\ge}& (a+b)(a^n+b^n) \\ &&=& a^{n+1}+b^{n+1}+ab^n+ba^n \\\\ \text{rechte Seite:} \\ &&&a^{n+1}+b^{n+1}\\\\ \text{Ergebnis:}\\ && & (a+b)^{n+1} \ge a^{n+1}+b^{n+1}+ab^n+ba^n \ge a^{n+1}+b^{n+1}\ \checkmark \\ \hline \end{array}\)

 

laugh

heureka  16.02.2018
Sortierung: 

3+0 Answers

 #1
avatar+7249 
0

\((a+b)^n>=a^n+b^n\)

Ich habe Probleme, den Induktionschritt n+1 anzuwenden.

 

Hallo Gast!

 

       \(\ \ \ \ (a+b)^n >=\ a^n+b^n\\ \ \ n \in \mathbb {N}\ \ \ \ \ \ \ \ \{a;b \} \subset \{\mathbb {R>0} \}\)

 

      Pascalsches Dreieck

 

                    1  1

                 1   2  1

              1   3   3  1

           1   4   6    4  1

        1   5  10  10  5  1  

 

   \((a+b)^1=\\ (a+b)^2=\\ (a+b)^3=\\ (a+b)^4=\\ (a+b)^5=\) \(a^1+b^1>=a+b\\ a^2+2ab+b^2>=a^2+b^2\\ a^3+3a^2b+3ab^2+b^3>=a^3+b^3\\ a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4>=a^4+b^4\\ a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5\)

                                                                                 \(>=a^5+b^5\)

 

Die Darstellung mit Hilfe des Pascalschen Dreiecks zeigt:  die Behauptung

\((a+b)^n>=a^n+b^n\) für die Exponenten  \(n \in \{1;2;3;4;5 \}\) trifft zu.

 

Der Beweis für die Behauptung

\((a+b)^n>=a^n+b^n\)

mit den Exponenten \(n \in \mathbb{N}\) ist damit nicht gegeben.

 

Es fehlt der Beweis mit dem Induktionsschritt n+1.

 

Grüße

laugh  !

asinus  14.02.2018
bearbeitet von asinus  14.02.2018
bearbeitet von asinus  14.02.2018
bearbeitet von asinus  14.02.2018
bearbeitet von asinus  15.02.2018
 #2
avatar+19207 
+2
Beste Antwort

Vollständige Induktion

\(\large{(a+b)^n\ge a^n+b^n} \)

Ich habe probleme den Induktionschritt n+1 anzuwenden. Kann mir jemand helfen?

 

Induktionsanfang:
\(n = 1: \)  linke Seite: \((a+b)^1 = a+b\)
               rechte Seite: \(a^1+b^1 = a+b\)
Für \(n=1\) sind beide Seiten gleich und die Aussage ist wahr!

 

Die Induktionsannahme \((I.A.)\) lautet:

 \((a + b)^n \ge a^n + b^n\)

 

Induktionsschluss:

\(\begin{array}{|lrcll|} \hline n+1:\\ \text{linke Seite:} \\ && & (a+b)^{n+1} \\ &&=& (a+b)^n(a+b)^1 \\ &&=& (a+b)(a+b)^n \\ &&\overset{I.A.}{\ge}& (a+b)(a^n+b^n) \\ &&=& a^{n+1}+b^{n+1}+ab^n+ba^n \\\\ \text{rechte Seite:} \\ &&&a^{n+1}+b^{n+1}\\\\ \text{Ergebnis:}\\ && & (a+b)^{n+1} \ge a^{n+1}+b^{n+1}+ab^n+ba^n \ge a^{n+1}+b^{n+1}\ \checkmark \\ \hline \end{array}\)

 

laugh

heureka  16.02.2018
 #3
avatar+7249 
+1

Danke heureka !

laugh  !

asinus  16.02.2018

27 Benutzer online

avatar
avatar
avatar
avatar
Wir verwenden Cookies um Inhalt und Werbung dieser Webseite zu personalisieren und Social Mediainhalte bereitzustellen. Auch teilen wir Nutzungverhalten unserer Webseite mit unseren Werbe-, Analyse- und Social Media- Partnern.  Siehe Details