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\((a+b)^n>=a^n+b^n\)

 

Ich habe probleme den Induktionschritt n+1 anzuwenden. Kann mir jemand helfen?

 11.02.2018

Beste Antwort 

 #2
avatar+22527 
+2

Vollständige Induktion

\(\large{(a+b)^n\ge a^n+b^n} \)

Ich habe probleme den Induktionschritt n+1 anzuwenden. Kann mir jemand helfen?

 

Induktionsanfang:
\(n = 1: \)  linke Seite: \((a+b)^1 = a+b\)
               rechte Seite: \(a^1+b^1 = a+b\)
Für \(n=1\) sind beide Seiten gleich und die Aussage ist wahr!

 

Die Induktionsannahme \((I.A.)\) lautet:

 \((a + b)^n \ge a^n + b^n\)

 

Induktionsschluss:

\(\begin{array}{|lrcll|} \hline n+1:\\ \text{linke Seite:} \\ && & (a+b)^{n+1} \\ &&=& (a+b)^n(a+b)^1 \\ &&=& (a+b)(a+b)^n \\ &&\overset{I.A.}{\ge}& (a+b)(a^n+b^n) \\ &&=& a^{n+1}+b^{n+1}+ab^n+ba^n \\\\ \text{rechte Seite:} \\ &&&a^{n+1}+b^{n+1}\\\\ \text{Ergebnis:}\\ && & (a+b)^{n+1} \ge a^{n+1}+b^{n+1}+ab^n+ba^n \ge a^{n+1}+b^{n+1}\ \checkmark \\ \hline \end{array}\)

 

laugh

 16.02.2018
 #1
avatar+8345 
0

\((a+b)^n>=a^n+b^n\)

Ich habe Probleme, den Induktionschritt n+1 anzuwenden.

 

Hallo Gast!

 

       \(\ \ \ \ (a+b)^n >=\ a^n+b^n\\ \ \ n \in \mathbb {N}\ \ \ \ \ \ \ \ \{a;b \} \subset \{\mathbb {R>0} \}\)

 

      Pascalsches Dreieck

 

                    1  1

                 1   2  1

              1   3   3  1

           1   4   6    4  1

        1   5  10  10  5  1  

 

   \((a+b)^1=\\ (a+b)^2=\\ (a+b)^3=\\ (a+b)^4=\\ (a+b)^5=\) \(a^1+b^1>=a+b\\ a^2+2ab+b^2>=a^2+b^2\\ a^3+3a^2b+3ab^2+b^3>=a^3+b^3\\ a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4>=a^4+b^4\\ a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5\)

                                                                                 \(>=a^5+b^5\)

 

Die Darstellung mit Hilfe des Pascalschen Dreiecks zeigt:  die Behauptung

\((a+b)^n>=a^n+b^n\) für die Exponenten  \(n \in \{1;2;3;4;5 \}\) trifft zu.

 

Der Beweis für die Behauptung

\((a+b)^n>=a^n+b^n\)

mit den Exponenten \(n \in \mathbb{N}\) ist damit nicht gegeben.

 

Es fehlt der Beweis mit dem Induktionsschritt n+1.

 

Grüße

laugh  !

 14.02.2018
bearbeitet von asinus  14.02.2018
bearbeitet von asinus  14.02.2018
bearbeitet von asinus  14.02.2018
bearbeitet von asinus  15.02.2018
 #2
avatar+22527 
+2
Beste Antwort

Vollständige Induktion

\(\large{(a+b)^n\ge a^n+b^n} \)

Ich habe probleme den Induktionschritt n+1 anzuwenden. Kann mir jemand helfen?

 

Induktionsanfang:
\(n = 1: \)  linke Seite: \((a+b)^1 = a+b\)
               rechte Seite: \(a^1+b^1 = a+b\)
Für \(n=1\) sind beide Seiten gleich und die Aussage ist wahr!

 

Die Induktionsannahme \((I.A.)\) lautet:

 \((a + b)^n \ge a^n + b^n\)

 

Induktionsschluss:

\(\begin{array}{|lrcll|} \hline n+1:\\ \text{linke Seite:} \\ && & (a+b)^{n+1} \\ &&=& (a+b)^n(a+b)^1 \\ &&=& (a+b)(a+b)^n \\ &&\overset{I.A.}{\ge}& (a+b)(a^n+b^n) \\ &&=& a^{n+1}+b^{n+1}+ab^n+ba^n \\\\ \text{rechte Seite:} \\ &&&a^{n+1}+b^{n+1}\\\\ \text{Ergebnis:}\\ && & (a+b)^{n+1} \ge a^{n+1}+b^{n+1}+ab^n+ba^n \ge a^{n+1}+b^{n+1}\ \checkmark \\ \hline \end{array}\)

 

laugh

heureka 16.02.2018
 #3
avatar+8345 
+1

Danke heureka !

laugh  !

 16.02.2018

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