\((a+b)^n>=a^n+b^n\)
Ich habe probleme den Induktionschritt n+1 anzuwenden. Kann mir jemand helfen?
Vollständige Induktion
\(\large{(a+b)^n\ge a^n+b^n} \)
Ich habe probleme den Induktionschritt n+1 anzuwenden. Kann mir jemand helfen?
Induktionsanfang:
\(n = 1: \) linke Seite: \((a+b)^1 = a+b\)
rechte Seite: \(a^1+b^1 = a+b\)
Für \(n=1\) sind beide Seiten gleich und die Aussage ist wahr!
Die Induktionsannahme \((I.A.)\) lautet:
\((a + b)^n \ge a^n + b^n\)
Induktionsschluss:
\(\begin{array}{|lrcll|} \hline n+1:\\ \text{linke Seite:} \\ && & (a+b)^{n+1} \\ &&=& (a+b)^n(a+b)^1 \\ &&=& (a+b)(a+b)^n \\ &&\overset{I.A.}{\ge}& (a+b)(a^n+b^n) \\ &&=& a^{n+1}+b^{n+1}+ab^n+ba^n \\\\ \text{rechte Seite:} \\ &&&a^{n+1}+b^{n+1}\\\\ \text{Ergebnis:}\\ && & (a+b)^{n+1} \ge a^{n+1}+b^{n+1}+ab^n+ba^n \ge a^{n+1}+b^{n+1}\ \checkmark \\ \hline \end{array}\)
\((a+b)^n>=a^n+b^n\)
Ich habe Probleme, den Induktionschritt n+1 anzuwenden.
Hallo Gast!
\(\ \ \ \ (a+b)^n >=\ a^n+b^n\\ \ \ n \in \mathbb {N}\ \ \ \ \ \ \ \ \{a;b \} \subset \{\mathbb {R>0} \}\)
Pascalsches Dreieck
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
\((a+b)^1=\\ (a+b)^2=\\ (a+b)^3=\\ (a+b)^4=\\ (a+b)^5=\) \(a^1+b^1>=a+b\\ a^2+2ab+b^2>=a^2+b^2\\ a^3+3a^2b+3ab^2+b^3>=a^3+b^3\\ a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4>=a^4+b^4\\ a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5\)
\(>=a^5+b^5\)
Die Darstellung mit Hilfe des Pascalschen Dreiecks zeigt: die Behauptung
\((a+b)^n>=a^n+b^n\) für die Exponenten \(n \in \{1;2;3;4;5 \}\) trifft zu.
Der Beweis für die Behauptung
\((a+b)^n>=a^n+b^n\)
mit den Exponenten \(n \in \mathbb{N}\) ist damit nicht gegeben.
Es fehlt der Beweis mit dem Induktionsschritt n+1.
Grüße
!
Vollständige Induktion
\(\large{(a+b)^n\ge a^n+b^n} \)
Ich habe probleme den Induktionschritt n+1 anzuwenden. Kann mir jemand helfen?
Induktionsanfang:
\(n = 1: \) linke Seite: \((a+b)^1 = a+b\)
rechte Seite: \(a^1+b^1 = a+b\)
Für \(n=1\) sind beide Seiten gleich und die Aussage ist wahr!
Die Induktionsannahme \((I.A.)\) lautet:
\((a + b)^n \ge a^n + b^n\)
Induktionsschluss:
\(\begin{array}{|lrcll|} \hline n+1:\\ \text{linke Seite:} \\ && & (a+b)^{n+1} \\ &&=& (a+b)^n(a+b)^1 \\ &&=& (a+b)(a+b)^n \\ &&\overset{I.A.}{\ge}& (a+b)(a^n+b^n) \\ &&=& a^{n+1}+b^{n+1}+ab^n+ba^n \\\\ \text{rechte Seite:} \\ &&&a^{n+1}+b^{n+1}\\\\ \text{Ergebnis:}\\ && & (a+b)^{n+1} \ge a^{n+1}+b^{n+1}+ab^n+ba^n \ge a^{n+1}+b^{n+1}\ \checkmark \\ \hline \end{array}\)