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Kann mir wer bei dem Beispiel helfen ich komm einfach auf keine Lösung? Und zeigen wie der Induktionsschritt geht

\(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{(2i-1)*(2i+1)}=\frac{n}{2n+1}\)

Guest 28.02.2018
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Kann mir wer bei dem Beispiel helfen ich komm einfach auf keine Lösung?

Und zeigen wie der Induktionsschritt geht.

\(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{(2i-1)*(2i+1)}=\frac{n}{2n+1}\)

 

Induktionsanfang:
n = 1:    linke Seite: \(\dfrac{1}{(2\cdot 1-1)(2\cdot 1 +1) } = \dfrac{1}{1\cdot3}= \dfrac{1}{3}\)


             rechte Seite: \(\dfrac{1}{2\cdot 1+1} = \dfrac{1}{3}\)
Für n=1 sind beide Seiten gleich!

 

Die Induktionsannahme (I.A.) lautet:

\( \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{(2i-1)*(2i+1)}=\dfrac{n}{2n+1}\)

 

Induktionsbehauptung:

\(\displaystyle \sum_{i=1}^{n+1} \dfrac{1}{(2i-1)*(2i+1)}=\dfrac{n+1}{2(n+1)+1}\)

 

Beweis des Induktionsschritts \(n\rightarrow n+1\):

 

\(\begin{array}{|lrcll|} \hline n+1:\\ \text{linke Seite:} \\ && & \displaystyle \sum_{i=1}^{n+1} \dfrac{1}{(2i-1)*(2i+1)} \\\\ &&=& \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{(2i-1)*(2i+1)} +\dfrac{1}{[2(n+1)-1][2(n+1)+1]} \\\\ &&\overset{I.A.}{=}& \dfrac{n}{2n+1}+\dfrac{1}{(2n+1)(2n+3)} \\\\ &&=& \left(\dfrac{n}{2n+1} \right) \left(\dfrac{2n+3}{2n+3} \right) +\dfrac{1}{(2n+1)(2n+3)} \\\\ &&=& \dfrac{n(2n+3)+1}{(2n+1)(2n+3)} \\\\ &&=& \dfrac{2n^2 +3n+1}{(2n+1)(2n+3)} \\\\ &&=& \dfrac{(2n+1)(n+1)}{(2n+1)(2n+3)} \\\\ &&=& \dfrac{n+1}{2n+3} \\\\ &&=& \dfrac{n+1}{2(n+1)+1} \\\\ \text{rechte Seite:} \\ &&& \dfrac{n+1}{2(n+1)+1} \\\\ \text{Ergebnis:}\\ && & \dfrac{n+1}{2(n+1)+1} = \dfrac{n+1}{2(n+1)+1}\ \checkmark \\ \hline \end{array} \)

 

laugh

heureka  01.03.2018

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