+0  
 
+1
278
1
avatar

Kann mir wer bei dem Beispiel helfen ich komm einfach auf keine Lösung? Und zeigen wie der Induktionsschritt geht

\(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{(2i-1)*(2i+1)}=\frac{n}{2n+1}\)

Guest 28.02.2018
 #1
avatar+20001 
+1

Kann mir wer bei dem Beispiel helfen ich komm einfach auf keine Lösung?

Und zeigen wie der Induktionsschritt geht.

\(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{(2i-1)*(2i+1)}=\frac{n}{2n+1}\)

 

Induktionsanfang:
n = 1:    linke Seite: \(\dfrac{1}{(2\cdot 1-1)(2\cdot 1 +1) } = \dfrac{1}{1\cdot3}= \dfrac{1}{3}\)


             rechte Seite: \(\dfrac{1}{2\cdot 1+1} = \dfrac{1}{3}\)
Für n=1 sind beide Seiten gleich!

 

Die Induktionsannahme (I.A.) lautet:

\( \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{(2i-1)*(2i+1)}=\dfrac{n}{2n+1}\)

 

Induktionsbehauptung:

\(\displaystyle \sum_{i=1}^{n+1} \dfrac{1}{(2i-1)*(2i+1)}=\dfrac{n+1}{2(n+1)+1}\)

 

Beweis des Induktionsschritts \(n\rightarrow n+1\):

 

\(\begin{array}{|lrcll|} \hline n+1:\\ \text{linke Seite:} \\ && & \displaystyle \sum_{i=1}^{n+1} \dfrac{1}{(2i-1)*(2i+1)} \\\\ &&=& \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{(2i-1)*(2i+1)} +\dfrac{1}{[2(n+1)-1][2(n+1)+1]} \\\\ &&\overset{I.A.}{=}& \dfrac{n}{2n+1}+\dfrac{1}{(2n+1)(2n+3)} \\\\ &&=& \left(\dfrac{n}{2n+1} \right) \left(\dfrac{2n+3}{2n+3} \right) +\dfrac{1}{(2n+1)(2n+3)} \\\\ &&=& \dfrac{n(2n+3)+1}{(2n+1)(2n+3)} \\\\ &&=& \dfrac{2n^2 +3n+1}{(2n+1)(2n+3)} \\\\ &&=& \dfrac{(2n+1)(n+1)}{(2n+1)(2n+3)} \\\\ &&=& \dfrac{n+1}{2n+3} \\\\ &&=& \dfrac{n+1}{2(n+1)+1} \\\\ \text{rechte Seite:} \\ &&& \dfrac{n+1}{2(n+1)+1} \\\\ \text{Ergebnis:}\\ && & \dfrac{n+1}{2(n+1)+1} = \dfrac{n+1}{2(n+1)+1}\ \checkmark \\ \hline \end{array} \)

 

laugh

heureka  01.03.2018

8 Benutzer online

Neue Datenschutzerklärung

Wir verwenden Cookies, um Inhalte und Anzeigen bereitzustellen und die Zugriffe auf unsere Website anonymisiert zu analysieren.

Bitte klicken Sie auf "Cookies und Datenschutzerklärung akzeptieren", wenn Sie mit dem Setzen der in unserer Datenschutzerklärung aufgeführten Cookies einverstanden sind und der Drittanbieter Google Adsense auf dieser Webseite nicht-personalisierte Anzeigen für Sie einbinden darf. Nach Einwilligung erhält der Anbieter Google Inc. Informationen zu Ihrer Verwendung unserer Webseite.

Davon unberührt bleiben solche Cookies, die nicht einer Einwilligung bedürfen, weil diese zwingend für das Funktionieren dieser Webseite notwendig sind.

Weitere Informationen: Cookie Bestimmungen und Datenschutzerklärung.