Aufgabenstellung: Bestimmen Sie die Punkte auf dem Graphen f, in denen die Tangente parallel zur Geraden g verläuft.
f(x) = 2x³-4x²+x
g(x) = -x+7
Hallo Gast!
Die Steigung der Geraden g(x) = -x + 7 ist -1.
Die erste Ableitung f'(x) der Funktion f(x)
ist die Funktion: "Steigungen von f(x)" von x.
\(\color{BrickRed}f(x)=2x^3-4x^2+x\\ f'(x)=6x^2-8x+1\)
Da wo f'(x) gleich der Steigung von g(x), nämlich -1, ist, liegen die x-Werte der gesuchten Punkte.
\(6x^2-8x+1=-1\\ 6x^2-8x+2=0\\ 3x^2-4x+1=0\)
a b c
\(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)
\(x = {4 \pm \sqrt{16-4\cdot 3\cdot 1} \over 6}\\ x=\frac{4\pm\sqrt{4}}{6}=\frac{4\pm2}{6} \)
\(x_1=1\\ x_2=\frac{1}{3}\)
In f(x)= 2x³-4x²+x eingesetzt geben die x-Werte die zugehörigen Ordinaten.
\(f(1) = 2\cdot1 - 4\cdot 1 + 1 = -1\\ \color{blue}P_1(1|-1)\\ f(\frac{1}{3})=2\cdot \frac{1}{27}-4\cdot \frac{1}{9}+\frac{1}{3}\\ \color{red}=\frac{55-111+9}{27}=-\frac{47}{27}=-1\frac{20}{27}\ Fehler\\ Danke\ Omi67,\ es\ war\ schon\ sp\ddot at.\\ f(\frac{1}{3})=2\cdot \frac{1}{27}-4\cdot \frac{1}{9}+\frac{1}{3}=\frac{2}{27}-\frac{12}{27}+\frac{9}{27}=-\frac{1}{27}\\ \color{blue}P_2(\frac{1}{3}|-\frac{1}{27})\)
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